Ta có (ad−bc)2+(ac+bd)2=a2d2+b2c2−2abcd+a2c2+b2d2+2abcd=(a2+b2)(c2+d2)
Từ gia thiết ta có
1+(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
(a2+b2)+(c2+d2)≥2√(a2+b2)(c2+d2)
Do đó S≥ac+bd+2√(a2+b2)(c2+d2)
=> S≥(ac+bd)+2√1+(ac+bd)2
Dễ thấy rằng S>0
Đặt x = ac+bd
=>S≥x+2√1+x2
S2≥x2+4(1+x2)+4x.√1+x2=(√1+x2+2x)2+3≥3
Do đó S≥√3 (đpcm)
Ta có : \(\left(ad-bc\right)^2+\left(ac+bd\right)^2=a^2d^2+b^2c^2-2abcd+a^2c^2+2abcd\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(1+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\)
\(\Rightarrow S\ge ac+bd+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\)
\(\ge ac+bd+2\sqrt{1+\left(ac+bd\right)^2}\)
Đặt \(ac+bd=x\)
\(\Rightarrow S\ge x+2\sqrt{1+x^2}\)
\(\Leftrightarrow S^2\ge x^2+4\left(1+x^2\right)+4x\sqrt{1+x^2}=\left(\sqrt{1+x^2}+2x\right)^2+3\ge3\)
\(\Rightarrow S\ge\sqrt{3}\)
