Question

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)² + (ad – bc)² = (a² + b²)(c² + d²)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x² + y².

Answer 1

1) Giả sử \(\sqrt{7}\) là 1 số hữu tỉ, do đó \(\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\) với a,b là những số nguyên dương(\(\dfrac{a}{b}\) tối giản)

Từ đó: \(\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow7=\dfrac{a^2}{b^2}\Leftrightarrow7b^2=a^2\)

\(\Rightarrow a^2⋮7\Rightarrow a⋮7\Rightarrow a=7k\)

Suy ra: \(7b^2=49k^2\Leftrightarrow b^2=7k^2\Rightarrow b^2⋮7\Rightarrow b⋮7\)

Vậy mâu thuẫn với \(\dfrac{a}{b}\) tối giản

Vậy: \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ

Answer 2

2) a) \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2ac.bd+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2ad.bc=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

b) Chuyển vế rồi khai triển, search trên mạng cũng có

3) Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:

\(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\)