Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lamkhánhdư

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.

Akai Haruma
16 tháng 9 2020 lúc 18:34

Câu 1:

Giả sử $\sqrt{7}$ là số hữu tỉ. Khi đó ta có thể viết $\sqrt{7}$ dưới dạng $\frac{a}{b}$ với $a,b\in\mathbb{N}^*$, $(a,b)=1$

Có:

$\sqrt{7}=\frac{a}{b}$

$\Rightarrow 7b^2=a^2\Rightarrow a^2\vdots 7$

$\Rightarrow a\vdots 7$ (do $7$ là số nguyên tố)

$\Rightarrow a^2\vdots 49$

Hay $7b^2\vdots 49$

$\Leftrightarrow b^2\vdots 7$

$\Rightarrow b\vdots 7$

Như vậy $ƯC(a,b)\neq 1$ (trái với điều kiện đặt ra)

Do đó điều giả sử là sai.

Tức $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.

Akai Haruma
16 tháng 9 2020 lúc 18:36

Câu 2:

a)

$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+2acbd+a^2d^2+b^2c^2-2adbc$

$=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$

$=(a^2c^2+a^2d^2)+(b^2d^2+b^2c^2)$

$=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ (đpcm)

b)

BĐT đã cho tương đương với:

$a^2c^2+b^2d^2+2acbd\leq a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$

$\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2abcd\geq 0$

$\Leftrightarrow (ad-bc)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi số thực $a,b,c,d$)

Do đó BĐT được chứng minh.

Akai Haruma
16 tháng 9 2020 lúc 18:38

Câu 3:

Ta có:

$(x-y)^2\geq 0$ với mọi số thực $x,y$

$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq x^2+y^2+2xy$

$\Leftrightarrow 2S\geq (x+y)^2$

$\Leftrightarrow 2S\geq 4$

$\Leftrightarrow S\geq 2$

Vậy $S_{\min}=2$. Giá trị này đạt được tại $x=y=1$


Các câu hỏi tương tự
Phạm Mỹ Dung
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
hoàng minh chính
Xem chi tiết
Phạm Mỹ Dung
Xem chi tiết
Lê Anh Khoa
Xem chi tiết
le tri tien
Xem chi tiết
Phạm Mỹ Dung
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Bi Bi
Xem chi tiết