Chứng minh rằng:
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{48}{3a+4b}\),\(\forall a.b>0\)
Những câu hỏi liên quan
chứng minh rằng :
a, x+2y+dfrac{25}{x}+dfrac{27}{y^2}ge 19 ( forallx,y 0 )
b, x+dfrac{1}{left(x-yright)y}ge3 ( forallxy0 )
c,dfrac{x}{2}+dfrac{16}{x-2}ge13left(forall x2right)
d, a+dfrac{1}{a^2}gedfrac{9}{4}left(forall xge2right)
e, a+dfrac{1}{aleft(a-bright)^2}ge2sqrt{2} ( forall xyge0)
f, dfrac{2a^3+1}{4bleft(a-bright)}ge3[forall agedfrac{1}{2};dfrac{a}{b}1]
g, x+dfrac{4}{left(x-yright)left(y+1right)^2}ge3left(forall xyge0right)
h, 2a^4+dfrac{1}{1+a^2}ge3a^2-1
Đọc tiếp
chứng minh rằng :
a, x+2y+\(\dfrac{25}{x}\)+\(\dfrac{27}{y^2}\)\(\ge\) 19 ( \(\forall\)x,y \(\)> 0 )
b, \(x+\dfrac{1}{\left(x-y\right)y}\ge3\) ( \(\forall\)x>y>0 )
c,\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{16}{x-2}\ge13\left(\forall x>2\right)\)
d, \(a+\dfrac{1}{a^2}\ge\dfrac{9}{4}\left(\forall x\ge2\right)\)
e, a+\(\dfrac{1}{a\left(a-b\right)^2}\ge2\sqrt{2}\) ( \(\forall x>y\ge0\))
f, \(\dfrac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge3[\forall a\ge\dfrac{1}{2};\dfrac{a}{b}>1]\)
g, x+\(\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge3\left(\forall x>y\ge0\right)\)
h, \(2a^4+\dfrac{1}{1+a^2}\ge3a^2-1\)
a) Với 0 x dfrac{4}{3}, chứng minh rằng dfrac{1}{x^2left(4-3xright)} ge x
b) Cho a,b,c là ba số dương nhỏ hơn dfrac{4}{3} sao cho a + b + c 3. Chứng minh rằng:
dfrac{1}{a^2left(3b+3c-5right)} + dfrac{1}{b^2left(3c+3a-5right)} + dfrac{1}{c^2left(3a+3b-5right)} ge 3
Đọc tiếp
a) Với 0 < x <\(\dfrac{4}{3}\), chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x^2\left(4-3x\right)}\) \(\ge\) x
b) Cho a,b,c là ba số dương nhỏ hơn \(\dfrac{4}{3}\) sao cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a^2\left(3b+3c-5\right)}\) + \(\dfrac{1}{b^2\left(3c+3a-5\right)}\) + \(\dfrac{1}{c^2\left(3a+3b-5\right)}\) \(\ge\) 3
Bài 1: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\dfrac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{z^3\left(x+y\right)}>=\dfrac{3}{2}\)
Bài 2: Cho a, b c > 0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a+3c}{a+b}+\dfrac{c+3a}{b+c}+\dfrac{4b}{c+a}>=6\)
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn (3a+2b)(3a+2c)=16bc. Chứng minh rằng
a) b+c ≥ 3a
b)\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{a}\) ≥ \(\dfrac{10}{3}\)
Lời giải:
\((3a+2b)(3a+2c)=16bc\)
\(\Leftrightarrow 9a^2+6a(b+c)=12bc\)
Theo BĐT Cô-si \(4bc\leq (b+c)^2\Rightarrow 9a^2+6a(b+c)\leq 3(b+c)^2\)
\(\Rightarrow 3a^2+2a(b+c)\leq (b+c)^2\)
\(\Leftrightarrow (b+c)^2-3a^2-2a(b+c)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (b+c)^2-9a^2-2a(b+c)+6a^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (b+c-3a)(b+c+3a)-2a(b+c-3a)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (b+c-3a)(b+c+a)\geq 0\)
Vì $a+b+c>0$ nên \(b+c-3a\geq 0\Rightarrow b+c\geq 3a\) (đpcm)
b) Áp dụng BĐT Cô-si và kết quả phần a:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{a}=\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{9a}+\frac{8(b+c)}{9a}\)
\(\geq 2\sqrt{\frac{a}{b+c}.\frac{b+c}{9a}}+\frac{8(b+c)}{9a}=\frac{2}{3}+\frac{8(b+c)}{9a}\geq \frac{2}{3}+\frac{8.3a}{9a}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Ta có đpcm.
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng
\(\dfrac{2a^2}{2b+c}+\dfrac{2b^2}{2a+c}+\dfrac{c^2}{4a+4b}\ge\dfrac{1}{4}\left(2a+2b+c\right)\)
\(P=\dfrac{4a^2}{4b+2c}+\dfrac{4b^2}{4a+2c}+\dfrac{c^2}{4a+4b}\ge\dfrac{\left(2a+2b+c\right)^2}{8a+8b+4c}\)
\(=\dfrac{\left(2a+2b+c\right)^2}{4\left(2a+2b+c\right)}=\dfrac{1}{4}\left(2a+2b+c\right)\)
Đúng 1
Bình luận (0)
30 tháng 10 2021 lúc 21:03
Cho tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\left(b,d\ne0\right).\) Chứng minh rằng:
\(\dfrac{11a+17b}{3a-4b}=\dfrac{11c+17d}{3c-4d}\)
\(=\dfrac{11a+17b}{11c-17d}=\dfrac{3a-4b}{3c-4d}\)
\(\Rightarrow...\)
Đúng 2
Bình luận (8)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow a=bk,c=dk\)
\(\Rightarrow\dfrac{11a+17b}{3a-4b}=\dfrac{11bk+17b}{3bk-4b}=\dfrac{b\left(11k+17\right)}{b\left(3k-4\right)}=\dfrac{11k+17}{3k-4}\left(1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{11c+17d}{3c-4d}=\dfrac{11dk+17d}{3dk-4d}=\dfrac{d\left(11k+17\right)}{d\left(3k-4\right)}=\dfrac{11k+17}{3k-4}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{11a+17b}{3a-4b}=\dfrac{11c+17d}{3c-4d}\)
Đúng 2
Bình luận (2)
cho a,b,c dương và \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=3a^4b^4c^4\).chứng minh:
\(\dfrac{1}{a^3b+2c^2+1}+\dfrac{1}{b^3c+2a^2+1}+\dfrac{1}{c^3a+2b^2+1}\le\dfrac{3}{4}\)
Chứng minh bđt:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge\dfrac{9}{2}\forall a,b,c>0\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (1)
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\) . Chứng minh bất đẳng thức với ∀a,b,c ≥0
Mọi người giúp em với ạ .
Áp dụng BĐT Cauchy dạng engel ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c(đpcm) \)
Đúng 0
Bình luận (0)
theo bđt cauchy ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b}+b\ge2a\\\dfrac{b^2}{c}+c\ge2b\\\dfrac{c^2}{a}+a\ge2c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+2c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Đúng 0
Bình luận (0)