a:

Sửa đề: \(I\left(\dfrac{1}{2};-3\right)\)

Thay \(x=\dfrac{1}{2};y=-3\) vào (d): \(y=\left(1-2m\right)x+m-\dfrac{7}{2}\), ta được:

\(\left(1-2m\right)\cdot\dfrac{1}{2}+m-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>\(\dfrac{1}{2}-m+m-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}=-3\)

=>-3=-3(đúng)

vậy: I(1/2;-3) là điểm cố định mà (d): \(y=\left(1-2m\right)x+m-\dfrac{7}{2}\) luôn đi qua

b: \(\left(d\right):y=\left(2m+1\right)x+m-2\)

\(=2mx+x+m-2\)

\(=m\left(2x+1\right)+x-2\)

Điểm mà (d) luôn đi qua có tọa độ là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=0\\y=x-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Giả sử điểm cố định mà đường thẳng đi qua là \(M\left(x_0;y_0\right)\Rightarrow\) với mọi m ta có:

\(y_0=\left(2m+3\right)x_0-m+1\)

\(\Leftrightarrow m\left(2x_0-1\right)+3x_0-y_0+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0-1=0\\3x_0-y_0+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=\dfrac{1}{2}\\y_0=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy điểm cố định mà đường thẳng đi qua là \(M\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right)\)

Lời giải:
$y=(m+1)x+(m-3)y-m+8, \forall m\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow y=m(x-3y-1)+(x-3y+8), \forall m\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow m(x-3y-1)+(x-4y+8)=0, \forall m\in\mathbb{R}$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-3y-1=0\\ x-4y+8=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=28\\ y=9\end{matrix}\right.\)

Vậy đt luôn đi qua điểm cố định $(28,9)$

a/ Gọi điểm cố định \(M\left(x_0;y_0\right)\)

Khi đó đường thẳng y = k(x+3)-7 đi qua M , tức \(k\left(x_0+3\right)-7-y_0=0\) 

Vì đường thẳng y = k(x+3)-7 luôn đi qua M nên \(\hept{\begin{cases}x_0+3=0\\-y_0-7=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x_0=-3\\y_0=-7\end{cases}}\)

Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm M(-3;-7)

b/ Gọi điểm cố định là \(N\left(x_0;y_0\right)\)

Vì họ đường thẳng (m+2)x + (m-3)y -m+8 = 0 luôn đi qua N nên : 

\(\left(m+2\right).x_0+\left(m-3\right).y_0-m+8=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+y_0-1\right)+\left(2x_0-3y_0+8\right)=0\)

Ta có \(\hept{\begin{cases}x_0+y_0-1=0\\2x_0-3y_0+8=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=-1\\y_0=2\end{cases}}\)

Vậy điểm cố định N(-1;2)

Câu còn lại bạn làm tương tự nhé ^^

c/ Đơn giản thôi mà =)

Ta cũng gọi điểm cố định đó là \(M\left(x_0;y_0\right)\)

Vì họ đường thẳng y=(2-k)x+k-5 đi qua M nên : 

\(y_0=\left(2-k\right)x_0+k-5\Leftrightarrow k\left(1-x_0\right)+\left(2x_0-y_0-5\right)=0\)

Ta có \(\hept{\begin{cases}1-x_0=0\\2x_0-y_0-5=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x_0=1\\y_0=-3\end{cases}}\)

Vậy điểm cố định là M(1;-3)

Giả sử đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định  \(I\left(x_0;y_0\right)\) \(\Rightarrow\) với mọi m ta luôn có:

\(y_0=\left(m+1\right)x_0-m+2\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-1\right)+x_0-y_0+2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-1=0\\x_0-y_0+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=1\\y_0=3\end{matrix}\right.\)

Vậy  \(I\left(1;3\right)\)

ta có : \(y=\dfrac{\left(m-1\right)x+m+2}{x+m+2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(m-1\right)x+m+2}{x+m+2}-y=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m-1\right)x+m+2-yx-ym-2y}{x+m+2}=0\)

\(\)\(\Leftrightarrow\left(-x+2-yx-2y\right)+\left(x+1-y\right)m=0\)

\(\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x+2-yx-2y=0\\x+1-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=x+1\\-x+2-x\left(x+1\right)-2\left(x+1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=x+1\\-x^2-4x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-4\end{matrix}\right.\\y=x+1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-4\\x=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

dó các điểm này không phụ thuộc vào \(m\)

\(\Rightarrow\) \(A\left(0;1\right)\) và \(B\left(-4;-3\right)\) là 2 điểm cố định của đồ thị hàm số .

Giả sử điểm cố định mà đường thẳng đi qua có tọa độ \(\left(x_0;y_0\right)\), khi đó với mọi m ta luôn có:

\(y_0=\left(m+2\right)x_0+\left(m-3\right)y_0-m+8\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+y_0-1\right)+2x_0-4y_0+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+y_0-1=0\\2x_0-4y_0+8=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-\dfrac{2}{3}\\y_0=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) điểm cố định có tọa độ \(\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)\)