a: Am//BC

=>góc mAB+góc ABC=180 độ

=>góc mAB=115 độ

b: góc nAm=góc ABC

góc mAC=góc ACB

=>góc nAm=góc mAC

=>Am là phân giác của góc nAC

a) Xét \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) (Định lý tổng ba góc trong một tam giác)

⇔ \(\widehat{A}+65^o+65^o=180^o\)

⇔\(\widehat{A}+130^o=180^o\)

⇔\(\widehat{A}=180^o-130^{o^{ }}\)

⇔\(\widehat{A}=50^o\)

Hay \(\widehat{BAC}=50^o\)

b) Vì \(Am\) // BC (gt)

⇔\(\widehat{CAm}=\widehat{C}\) (vì 2 góc so le trong)

mà \(\widehat{C}=65^o\) (gt)

⇔\(\widehat{CAm}=65^o\)

Vì AC nằm giữa tia AB và Am

⇔\(\widehat{BAC}+\widehat{CAm}=\widehat{BAm}\)

⇔\(50^o+65^o=\widehat{BAm}\)

⇔\(\widehat{BAm}=115^o\)

Ta có \(\widehat{BAm}+\widehat{nAm}=180^o\) (vì 2 góc kề bù)

⇔ \(115^o+\widehat{nAm}=180^o\)

⇔\(\widehat{nAm}=180^o-115^o\)

⇔\(\widehat{nAm}=65^o\)

mà \(\widehat{CAm}=65^o\) (cmt)

⇔\(\widehat{nAm}=\widehat{CAm}=65^o\)

⇔Am là tia phân giác của \(\widehat{nAC}\) (đpcm)

a) Vỉ \(\widehat{bAm}< \widehat{bAn}\left(50^o< 85^o\right)\)

=> Tia Am nằm giữa 2 tia Ab và An.

b) Vì Az là tia đối của Ab.

=> \(\widehat{bAm}+\widehat{mAz}=180^o\\ \Leftrightarrow50^o+\widehat{mAz}=180^o\\ \rightarrow\widehat{mAz}=180^o-50^o=130^o\)

Ap dụng định lý  Pytago  vào tam giác vuông  \(ABC\)ta có:

             \(AB^2+AC^2=BC^2\)

     \(\Leftrightarrow\)\(BC^2=3^2+4^2=25\)

     \(\Leftrightarrow\)\(BC=\sqrt{25}=5\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADE\) có:

AB = AD (gt) 

\(\widehat{DAE}=\widehat{BAC}\) (2 góc đối đỉnh)

AC = AE (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta ADE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{D}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ADN\) có:

\(\widehat{B}=\widehat{D}\) (cmt)

AB = AD (gt)

\(\widehat{BAM}=\widehat{DAN}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ADN\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AM=AN\) (2 cạnh tương ứng)   (đpcm)