a: Xét ΔABC có

MN//BC

nên \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\)

=>\(\dfrac{AN}{NC}=1\)

=>AN=NC

b: Xét tứ giác AICK có

N là trung điểm chung của AC và KI

=>AICK là hình bình hành

c: Xét ΔABC có AI là phân giác

nên \(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\dfrac{MB}{NC}=\dfrac{AB}{2}:\dfrac{AC}{2}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{MB}{NC}\)

=>\(IB\cdot NC=MB\cdot IC\)

Cậu tự vẽ hình nhé

a, kẻ MK vuông BC, NG vuông BC

Tam g ABC cân => g ABC= g ACB 

Lại có g ACB = g GCN (dd)

=> g GCN = g ABC=g MBK

Xét tg MBK và tg NCG 

g MKB= g NGC =90° 

g MBK = g NCG (cmt)

MB= CN(gt)

=> tg MBK= tg NCG ( ch-gn)

=> MK=NG (2 cạnh tương ứng)

Vì MK vuông BC, NG vuông BC => NG// MK 

=> g GNM = g KMN ( so le trong )

Xét tg MKD VÀ TG NGD

g MKD = g DGN = 90°

g KMD = gDNG ( cmt)

Mk= GN (cmt)

=> tg MKD = tg NGD (_cgv-gn)

=> MD= ND (2 ctu)

=> D là td MN ( dpcm)

Xét tam giác cân ABC , AH là đường cao => AH là trung trực 

Lại có E thuộc AH => EC= EB 

Xét tg ABE và tg ACE

AB=AC (tg ABC cân)

BE= EC (cmt)

AE cạnh chung 

=> tg ABE = tg ACE (ccc)

=> g ABE = g ACE ( 2 góc tương ứng)(1)

Lại có DE là trung trực MN => ME = NE

Xét tg MBE và tg NCE

MB = NC ( gt)

ME = NE (cmt)

BE = CE (cmt)

=> tg MBE = tg NCE (ccc)

=> g ECN = g EBM (2 góc t u ) (2)

Từ 1), 2) => g ECA = g ECN 

Lại có 2 góc này bù nhau

=>g ACE= 90°= g ABE

Xét tg ABE vuông

+ theo đl pytago:

=> AE = √( ab²+bE²)= √( 6²+4,5²)= 7,5 (cmcm)

+ BH là đcao, theo hệ thức lượng trong tg vuông

=>+ AB²= AH.AE => AH= 6²:7,5=4,8 (cmcm)

+ 1/(BH²)= 1/(AB²)+1/(BE²) => BH = √(1:( (1/6²)+(1/4,5²))= 3,6(ccmcm)

=> BC= 3,6.2= 7,2 (cm)

=> dt tg ABC có đcao AH là 7,2.4,8.1/2= 28,08(cm²)

Vậy S tg ABC = 28,08 cm²

(tự vẽ hình )

câu 4:

 a) có AB² + AC² = 225

BC² = 225

Pytago đảo => \(\Delta ABC\)vuông tại A

b) Xét \(\Delta MAB\)và \(\Delta MDC\)

MA = MD (gt)

BM = BC ( do M là trung điểm của BC ) 

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\)( hai góc đối đỉnh )

=> \(\Delta MAB\)= \(\Delta MDC\) (cgc)

c) vì \(\Delta MAB\)= \(\Delta MDC\)

=> \(\hept{\begin{cases}AB=DC\\\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\end{cases}}\)

=> AB// DC

lại có AB \(\perp\)AC => DC \(\perp\)AC => \(\Delta KCD\)vuông tại C

Xét \(\Delta\) vuông ABK và \(\Delta\)vuông KCD:

AB =CD (cmt)

AK = KC ( do k là trung điểm của AC )

=> \(\Delta\)vuông AKB = \(\Delta\)vuông CKD (cc)

=> KB = KD

d. do KB = KD => \(\Delta KBD\)cân tại K

=> \(\widehat{KBD}=\widehat{KDB}\)(1)

có \(\Delta ADC\)vuông tại C => \(AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=15\)

=> MD = 7.5

mà MB = 7.5

=> MB = MD 

=> \(\Delta MBD\)cân tại M

=> \(\widehat{MBD}=\widehat{MDB}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{KBD}-\widehat{MBD}=\widehat{KDB}-\widehat{MDB}\)hay \(\widehat{KBM}=\widehat{KDM}\)

Xét \(\Delta KBI\)và \(\Delta KDN\)có:

\(\widehat{KBI}=\widehat{KDN}\)(cmt)

\(\widehat{KBD}\)chung

KD =KB (cmt) 

=> \(\Delta KBI\)= \(\Delta KDN\)(gcg)

=> KN =KI 

=. đpcm

câu 5: 

a) Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta MDC\):

MA=MD(gt)

MB=MC (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\)( đối đỉnh )

=> \(\Delta BMA=\Delta CMD\)(cgc)

b) Xét \(\Delta\)vuông ABC 

có AM là đường trung tuyến của tam giác 

=> \(AM=\frac{1}{2}BC\)mà \(BM=MC=\frac{1}{2}BC\)(do M là trung điểm của BC )

=> AM = BM = MC 

có MA =MD => AM = MD =MB =MC

=> BM +MC = AM +MD hay BC =AD

Xét \(\Delta BAC\)và \(\Delta DCA\)

AB =DC

AC chung

BC =DC

=> \(\Delta BAC\)= \(\Delta DCA\)(ccc)

c. Xét \(\Delta ABM\)

BM=AM

\(\widehat{ABM}\)= 60⁰

^{=> đpcm}

câu 6; 

 Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta ECM\)

BM =MC ( M là trung điểm của BC)

MA =ME

\(\widehat{AMB}=\widehat{CME}\)( đối đỉnh )

=> \(\Delta ABM\)= \(\Delta ECM\)(cgc)

=> AB =CE và \(\widehat{MAB}=\widehat{MEC}\)

có AB < AC => CE < AC

Xét \(\Delta CAE\) có CA>CE => \(\widehat{CAE}>\widehat{CEA}\)

có \(\widehat{MAB}=\widehat{CEA}\)=> đpcm