Cho \(x,y,z\ge0\)T/M : \(x+y+z=1\)
CMR : \(x+2y+z\ge4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
Cho \(x,y,z\ge0\) thỏa mãn \(x+y+z=1\) . CMR \(x+2y+z\ge4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
Ta có: \(x+y+z=1\) nên:
\(\Rightarrow y+z=1-x\)
Thay \(y+z=1-x\) và áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ta được:
\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left[\left(y+z\right)+\left(1-z\right)\right]^2\left(1-y\right)\)
\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y^2\right)\le1+y\)
\(\Rightarrow4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le1+y=x+2y+z\left(đpcm\right)\)
Cho x + y +z = 1 C/m \(x+2y+z\ge4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)với:x,y,z\ge0\)
Cho x + y +z =1 với điều kiện \(x,y,z\ge0\)
C/m \(x+2y+z\ge4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
Lời giải:
Vì $x+y+z=1$ và $x,y,z\geq 0$ nên $1-x,1-y,1-z\geq 0$
Ta sử dụng BĐT Cauchy quen thuộc \(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\) kết hợp với điều kiện $x+y+z=1$ thì có:
\(4(1-x)(1-y)(1-z)=[4(1-x)(1-z)](1-y)\)
\(\leq (1-x+1-z)^2(1-y)=(1+y)^2(1-y)=(1-y^2)(1+y)\leq 1(1+y)\) (do $y^2\geq 0\rightarrow 1-y^2\leq 1$)
hay \(4(1-x)(1-y)(1-z)\leq x+y+z+y=x+2y+z\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $y=0; x=z=0,5$
cho x,y,z \(\ge0\)và đôi một khác nhau t/m (x+z)(y+z)=1
chứng ming :\(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(x+z\right)^2}+\frac{1}{\left(y+z\right)^2}\ge4\)
Help me vs
Cho\(x;y;z\ge0\) ; \(x+y+z=1\)
\(CMR:4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le x+2y+z\)
Cho x,y,z lớn hơn thỏa mãn x+y+z=1, chứng minh:
\(x+2y+z\ge4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc \(4xy\le\left(x+y\right)^2\), cho ta
\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(1-x\right)\left(1-z\right)\cdot\left(1-y\right)\)
\(\le\left(1-x+1-z\right)^2\cdot\left(1-y\right)=\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y^2\right)\)
\(\le1+y=x+2y+z.\)
cho x,y,z là 3 số thực ko âm thỏa mãn x+y+z=1
cm x+2y+z\(\ge4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
Chứng minh $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
cho x+y+z=4
cmr \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\ge1\)
BL
TA CẦN CM \(\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge1\Leftrightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge x\)
mà x=\(4-\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge4-\left(y+z\right)\Leftrightarrow\frac{1}{y}-2+y+\frac{1}{z}-2+z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)
mà \(x\left(y+z\right)\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{16}{16}=1\left(đpcm\right)\)
Cho x; y; z > 0 sao cho (z+x)(z+y) = 1 CMR : \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(z+x\right)^2}+\frac{1}{\left(z+y\right)^2}\ge4.\)
\(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}}\); \(x-y=\left(x+z\right)-\left(y+z\right)=a-b\)
\(ab=1\Rightarrow b=\frac{1}{a}\)
\(A=VT=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\frac{1}{a^2}+a^2\)
\(=\frac{a^2}{\left(a^2-1\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)
\(t=a^2>0\)
\(A=\frac{t}{\left(t-1\right)^2}+t+\frac{1}{t}\)
\(A-4=\frac{\left(t^2-3t+1\right)^2}{t\left(t-1\right)^2}\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge4\)
Dấu bằng xảy ra khi \(t=a^2=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)\(\Leftrightarrow a=\sqrt{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=x+z=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\b=y+z=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{cases}}\) và hoán vị còn lại
Hệ trên có vô số nghiệm, chẳng hạn
\(\hept{\begin{cases}z=\frac{1}{10}\\x=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\\y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\end{cases}}\)
Chào anh! Em mới học lớp 7 nên không biết làm. Nếu là toán lớp 9 thì anh nên đăng ký tài khoản ở h, sẽ có câu trả lời nhanh hơn đấy. Chúc anh học tốt!