Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+2=a\\y-1=b\end{matrix}\right.\)

\(\left(a+\sqrt{a^2+1}\right)\left(b+\sqrt{b^2+1}\right)=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+\sqrt{b^2+1}=\sqrt{a^2+1}-a\\a+\sqrt{a^2+1}=\sqrt{b^2+1}-b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}=\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}-a-b\)

\(\Rightarrow a+b=0\)

\(\Rightarrow x+2+y-1=0\)

\(\Rightarrow x+y=-1\)

\(\sqrt{x^2+5x+4}\) hay \(\sqrt{x^2+4x+5}\) thế bạn

Lời giải:
ĐKĐB \(\Rightarrow (x+2-\sqrt{x^2+4x+5})(x+2+\sqrt{x^2+4x+5})(y-1+\sqrt{y^2-2y+2})=x+2-\sqrt{x^2+4x+5}\)

\(\Leftrightarrow -(y-1+\sqrt{y^2-2y+2})=x+2-\sqrt{x^2+4x+5}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+4x+5}-\sqrt{y^2-2y+2}=x+y+1(*)\)

ĐKĐB \(\Rightarrow (x+2+\sqrt{x^2+4x+5})(y-1+\sqrt{y^2-2y+2})(y-1-\sqrt{y^2-2y+2})=y-1-\sqrt{y^2-2y+2}\)

\(\Leftrightarrow -(x+2+\sqrt{x^2+4x+5})=y-1-\sqrt{y^2-2y+2}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{y^2-2y+2}-\sqrt{x^2+4x+5}=x+y+1(**)\)

Lấy $(*)+(**)\Rightarrow x+y+1=0$

$\Leftrightarrow x+y=-1$

x² + 2y² + z² - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0

<=> ( x² - 2xy + y² ) + ( y² - 2y + 1 ) + ( z² - 4z + 4 ) = 0

<=> ( x - y )² + ( y - 1 )² + ( z - 2 )² = 0

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-1\right)^2\ge0\\\left(z-2\right)^2\ge0\end{cases}}\forall x;y;z\)=> ( x - y )² + ( y - 1 )² + ( z - 2 )²\(\ge\)0\(\forall\)x ; y ; z

Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(z-2\right)^2=0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)( 1 )

Thay ( 1 ) vào A , ta được :

\(A=\left(1-1\right)^{2020}+\left(1-2\right)^{2020}+\left(2-3\right)^{2020}=0+1+1=2\)

Vậy A = 2

Ta có: \(x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-4z+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=0\)

Mà \(VT\ge0\left(\forall x,y,z\right)\) nên dấu "=" xảy ra khi:

\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(z-2\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)

Do \(1\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\le3x\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(y^2+2\le3y\)

Do đó: \(P\ge\dfrac{x+2y}{3x+3y+3}+\dfrac{2x+y}{3x+3y+3}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

\(P\ge\dfrac{x+y}{x+y+1}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

Đặt \(a=x+y-1\Rightarrow1\le a\le3\)

\(\Rightarrow P\ge f\left(a\right)=\dfrac{a+1}{a+2}+\dfrac{1}{4a}\)

\(f'\left(a\right)=\dfrac{3a^2-4a-4}{4a^2\left(a+2\right)^2}=\dfrac{\left(a-2\right)\left(3a+2\right)}{4a^2\left(a+2\right)^2}=0\Rightarrow a=2\)

\(f\left(1\right)=\dfrac{11}{12}\) ; \(f\left(2\right)=\dfrac{7}{8}\) ; \(f\left(3\right)=\dfrac{53}{60}\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge\dfrac{7}{8}\Rightarrow P_{min}=\dfrac{7}{8}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)

miền giá trị thử xem? 

miền giá trị ntn vậy

tui chưa hok nên ko bt

giảng vs

An Nhiên Miền giá trị là phương pháp dùng delta để chặn nhé ! 

Ví dụ : tìm cực trị của x biết \(a^2.x+ma+n=0\) ( m và n là hằng số)

*Nếu x = 0 thì ta sẽ tìm đc a

*Nếu x khác 0 thì pt là bậc 2

Khi đó pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4xn\ge0\)mà m và n là hằng số nên có thể giải bpt này ra sẽ tìm đc cực trị của x

Quay trở lại bài toán

\(x\left(y^2+1\right)=2y^2-2y\)

\(\Leftrightarrow xy^2+x=2y^2-2y\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(2-x\right)-2y-x=0\)

*Nếu x = 2 thì y = -1

*Nếu x khác 2

Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

                      \(\Leftrightarrow1+x\left(2-x\right)\ge0\)

                     \(\Leftrightarrow1+2x-x^2\ge0\)

                      \(\Leftrightarrow x^2-2x-1\le0\)(1)

Chú thích nhỏ: bất phương trình bậc 2 và bậc 3 (Bậc 1 dễ rồi ko nói) có thể giải bằng máy tính F(x) 570 VN Plus và đương nhiên đi thi sẽ đc dùng máy tính nên đây có thể coi là 1 mẹo nhỏ

Cách làm : Ấn mode -> ấn mũi tên xuống -> chọn 1 : INEQ rồi chọn dạng bpt thôi

DÙng máy  tính bấm cho (1) sẽ đc  \(1-\sqrt{2}\le x\le1+\sqrt{2}\)

Nên \(x_{max}=1+\sqrt{2}\)dấu "=" tự giải nha

\(A=x^4+y^4-2x^3-2x^2y^2+x^2-2y^3+y^2\)

\(A=\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)-2\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2+y^2\right)\)

\(A=\left(x^2-y^2\right)^2-2\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2+y^2\right)\)

\(A=\left[\left(x-y\right)\left(x+y\right)\right]^2-2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x^2+y^2\right)\)

\(A=\left(x-y\right)^2-2\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x^2+y^2\right)\)

\(A=x^2-2xy+y^2-2x^2+2xy-2y^2+x^2+y^2\)

\(A=0\)

đặt x+y=a=> y=a-x 
thay vào pt điều kiện 

2(x^2+1)+x^2=2(a-x)(x+1) 
3x^2+2 =2ax+2a-2x^2-2x 
5x^2+2x-2ax+2-2a=0 
5x^2+2(1-a)x+2(1-a)=0 
(1-a)^2-10(1-a)>=0 
(1-a)(1-a-10)>=0 
(a-1)(a+9)>=0 
a<=-9 
hoặc 
a>=1 
(x+y)<-9 hoặc (x+y)>=1

(x+y)>=-9 hoặc (x+y)>=-1