Bạn nên gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé.

Lời giải:Để $y$ nguyên thì $x^3+1\vdots x^4+1$

$\Leftrightarrow x^4+x\vdots x^4+1$

$\Leftrightarrow x^4+1+x-1\vdots x^4+1$

$\Leftrightarrow x-1\vdots x^4+1$

Nếu $x-1=0$ thì điều trên đúng. Kéo theo $y=1$

Nếu $x-1\neq 0$ thì $|x-1|\geq x^4+1(*)$

Cho $x>1$ thì $(*)\Leftrightarrow x-1\geq x^4+1$

$\Leftrightarrow x(1-x^3)-2\geq 0$ (vô lý với mọi $x>1$)

Cho $x< 1$ thì $(*)\Leftrightarrow 1-x\geq x^4+1$

$\Leftrightarrow x^4+x\leq 0$

$\Leftrightarrow x(x^3+1)\leq 0$

$\Leftrightarrow -1\leq x\leq 0$. Do $x$ nguyên nên $x=-1$ hoặc $x=0$

Với $x=-1$ thì $y=0$

Với $x=0$ thì $y=1$

Vậy..........

Lời giải:

$y^2+2xy-3x-2=0$

$\Leftrightarrow y^2+2xy+x^2=x^2+3x+2$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=(x+1)(x+2)$

Dễ thấy với mọi $x\in\mathbb{Z}$ thì $(x+1, x+2)=1$ nên để tích của chúng là scp thì $x+1, x+2$ cũng là scp

Đặt $x+1=a^2; x+2=b^2$ với $a,b\in\mathbb{Z}$
$\Rightarrow 1=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$

$\Rightarrow b-a=b+a=1$ hoặc $b-a=b+a=-1$

$\Rightarrow a=0\Rightarrow x=-1$

Khi đó:

$(x+y)^2=(x+1)(x+2)=0$

$\Rightarrow y=-x=1$

Vậy $(x,y)=(-1,1)$

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)

Ta có:

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\frac{6b-c-a-2}{8}\\\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6c-a-b-2}{8}\end{cases}}\)

Cộng vế theo vế ta được

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}+\frac{6b-c-a-2}{8}+\frac{6c-a-b-2}{8}\)

\(=\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

Mai mình làm cho

ukm mơn alibaba nguyễn nhìu

\(Vt=\left(x-y\right)^2+\frac{\left(1-xy\right)}{\left(x-y\right)^2}^2+2xy\ge2\left(1-xy\right)+2xy=2\)(AM-GM)