Vì số n là số nguyên dương\(\Rightarrow\) n=2k hoacn=2k+1    (k\(\in\)N*)

Với n=2k \(\Rightarrow\) (5n+15)(n+6)=(10k+15)(2k+6)

                                        =10x2k²+10x6k+30k+80

                                        =10x2k²+10x6k+10x3k+10x8

                                        =10(2k²+6k+3k+8) chia hết cho 10

Với n=2k+1 \(\Rightarrow\) (5n+15)(n+6)=[10(k+1)+15](2k+1+6)     

                                            =(10k+10+15)(2k+7)

                                            =10x2kk+10x7k+10x2k+10x7+30k+105

                                            =10(2kk+7k+2k+7+2k)+105

Vì 10(2kk​+7k+2k+7+2k) chia hết cho 10 mà 2x105 chia hết cho 10 

​ \(\Rightarrow\) 105 chia hết cho 10

Vậy n là số nguyên dương thì (5n+15)(n+6) chia hết cho 10

3ⁿ⁺² -2ⁿ⁺² +3ⁿ -2ⁿ

=3ⁿ .3² -2ⁿ .2² +3ⁿ -2²

=3ⁿ(9+)-2ⁿ(4-1)

Vì 3ⁿ .10 ⋮10

=> 3ⁿ .10- 2ⁿ .3⋮10

=>3ⁿ +2 -2ⁿ⁺² +3ⁿ -2ⁿ ⋮10

Đây nè bạn

=>(3^n+2)+(3^n)-(2^n+2)-(2^n)=3^n((3^2)+1)-2^n((2^2)+1)=(3^n)*10-(2^n)*5=(3^n)*10-(2^n-1)*5*2=(3^n)*10-(2^n-1)*10=10*((3^n)-(2^n-1) chia hết cho 10

=>(3^n+2)-(2^n+2)+(3^n)-(2^n)chia hết cho 10

Có: $6^n\cdot5=(2\cdot3)^n\cdot5=2^n\cdot3^n\cdot5$

$=(2\cdot5)\cdot2^{n-1}\cdot3^n=10\cdot2^{n-1}\cdot3^n$

Với $n$ nguyên dương $\Rightarrow n-1\ge 0$

Khi đó: $10\cdot2^{n-1}\cdot3^n\vdots10$

hay $6^n\cdot5\vdots10$ với $n$ nguyên dương.

\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Do \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\forall n\in Z^+\)

\(\Rightarrow n^5-n⋮5\forall n\in Z^+\)

* Ta có u 1 = 9 1 − 1 = 8  chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử u k = 9 k − 1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh u k + 1 = 9 k + 1 − 1  chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có u k + 1 = 9 k + 1 − 1 = 9.9 k − 1 = 9 9 k − 1 + 8 = 9 u k + 8 .

Vì 9 u k và 8 đều chia hết cho 8, nên u k + 1 cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u n chia hết cho 8.

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=3^n\left(3^2+1\right)-2^n\left(2^2+1\right)\)

\(=3^n.10-2^n.5\)

\(=3^n.10-2^{n-1}.10\)

\(=10.\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\) ∀n∈N

Vậy ...

Tham khảo

\(=3^n.9-2^n.4+3^n-2^n\)

\(=10.3^n-5.2^n\)

\(=10.\left(3^n-2^n\right)\)

\(\Leftrightarrow⋮10̸\)