Lời giải:

$2020\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 2020x^3\equiv x^3\pmod 3$

$2021\equiv -1\pmod 3\Rightarrow 2021x\equiv -x\pmod 3$
$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv x^3-x\pmod 3$
Mà $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $x^3-x\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv 0\pmod 3(*)$

Mặt khác:
$y^{2022}=(y^{1011})^2$ là scp nên $y^{2022}\equiv 0,1\pmod 3$

$2023\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow y^{2022}+2023\equiv 1,2\pmod 3(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 2020x^3+2021x\neq y^{2022}+2023$ với mọi $x,y$ nguyên.

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa đề.

Lời giải:

$2020\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 2020x^3\equiv x^3\pmod 3$

$2021\equiv -1\pmod 3\Rightarrow 2021x\equiv -x\pmod 3$
$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv x^3-x\pmod 3$
Mà $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $x^3-x\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv 0\pmod 3(*)$

Mặt khác:
$y^{2022}=(y^{1011})^2$ là scp nên $y^{2022}\equiv 0,1\pmod 3$

$2023\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow y^{2022}+2023\equiv 1,2\pmod 3(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 2020x^3+2021x\neq y^{2022}+2023$ với mọi $x,y$ nguyên.

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa đề.

không cần áp dụng đồng dư cũng ra được mà chỉ cần tách ra rồi xét chia hết cho 3 là ra

x= 2023

y=5

a: \(\left(2x-y+7\right)^{2022}>=0\forall x,y\)

\(\left|x-1\right|^{2023}>=0\forall x\)

=>\(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}>=0\forall x,y\)

mà \(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}< =0\forall x,y\)

nên \(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+7=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2x+7=9\end{matrix}\right.\)

\(P=x^{2023}+\left(y-10\right)^{2023}\)

\(=1^{2023}+\left(9-10\right)^{2023}\)

=1-1

=0

c: \(\left|x-3\right|>=0\forall x\)

=>\(\left|x-3\right|+2>=2\forall x\)

=>\(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2>=4\forall x\)

mà \(\left|y+3\right|>=0\forall y\)

nên \(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y+3\right|>=4\forall x,y\)

=>\(P=\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y-3\right|+2019>=4+2019=2023\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-3=0 và y-3=0

=>x=3 và y=3

2021 - x + 2021(x - 2020x) = 0

<=> 2021 - x + 2021 - 4082420 = 0

<=> -x - 4082420 = 0

<=> x = -4082420

x=1 , y= 2

2019.\(x^2\) + y² = 2023

Dùng phương pháp đánh giá tìm nghiệm nguyên em nhé.

Vì \(x\), y \(\in\) Z⁺ => \(x\); y ≥ 1

Với \(x\) = 1; y = 1 => 2019.1² + 1² = 2020 (loại)

Với \(x\) = 1; y = 2 => 2019.1² + 2² = 2023 ( thỏa mãn)

Với \(x\) > 1; y > 2 => 2019.\(x\) + y > 2019.1² + 2² = 2023

Vậy \(x\) = 1; y = 2 là  nghiệm nguyên duy nhất thỏa mãn đề bài.

Kết luận: (\(x\); y) =( 1; 2)