Bài 1:

a) Ta có:

\(tanB=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow AC=\dfrac{AB\cdot5}{2}=\dfrac{6\cdot5}{2}=15\)  

b) Áp dụng Py-ta-go ta có: 

\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+15^2=261\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{261}=3\sqrt{29}\)

Bài 2: 

\(\left\{{}\begin{matrix}sinM=sin40^o\approx0,64\Rightarrow cosN\approx0,64\\cosM=cos40^o\approx0,77\Rightarrow sinN\approx0,77\\tanM=tan40^o\approx0,84\Rightarrow cotN\approx0,84\\cotM=cot40^o\approx1,19\Rightarrow tanN\approx1,19\end{matrix}\right.\)

a)Ta có:`MN^2+MP^2=a^2+a^2=2a^2`

`NP^2=2a^2`

`=>MN^2+MP^2=NP^2`

`=>` tam giác MNP vuông cân

b)Xét tam giác vuông cân MNP có:

`MO` là trung tuyến

`=>MO` là đg cao

`=>MO bot NP`

`=>hat{MON}=90^o`

Vì `O` là trung đ NP

`=>NO=OP=(NP)/2=(asqrt2)/2`

`sin\hat{NMO}=(NO)/(MN)=(asqrt2/2)/a=sqrt2/2`

Tương tự với các cái còn lại.

a, do MN=MP=a=>\(\Delta MNP\) cân tại M

b, \(\Delta MNP\) cân tại M có MO là trung tuyến nên đồng thời là đường cao

\(=>MO\perp NP\)=>\(\Delta NOM\) vuông tại O

có: \(NO=\dfrac{NP}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}cm\)

\(=>\sin\left(NMO\right)=\dfrac{NO}{NM}=\dfrac{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

theo pytago\(=>OM=\sqrt{MN^2-ON^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}\)

\(=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{2}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}cm\)

\(=>\cos\angle\left(NMO\right)=\dfrac{OM}{NM}=\dfrac{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(=>\tan\angle\left(NMO\right)=\dfrac{ON}{OM}=\dfrac{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}=1\)

tương tự \(=>\cot\angle\left(NMO\right)=1\)

Áp dụng định lí Pytago:

`NP^2=MN^2+MP^2`

`<=> MP=\sqrt(13^2-5^2)=12(cm)`

Các tỉ số lượng giác `\hatN` là:

`sinN=(MP)/(NP)=12/13`

`cosN=(MN)/(NP)=5/13`

`tanN=(MP)/(MN)=12/5`

`cotN=(MN)/(MP)=5/12`

Vì Tam giác `MNP` cân tại `M -> MN = MP,` \(\widehat{N}=\widehat{P}\)

Mà `MN= 3 cm, `\(\widehat{N}=60^0\)

`-> MN = MP = 3 cm, `\(\widehat{N}=\widehat{P}=60^0\)

Xét Tam giác `MNP:`

\(\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^0\)

`->`\(\widehat{M}+60^0+60^0=180^0\) 

`->`\(\widehat{M}=60^0\)

Ta có:

\(\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{P}=60^0\)

`->` \(\text {Tam giác MNP là tam giác đều}\)

`-> MN = MP = NP = 3 cm.`

\(\sin\widehat{P}=\cos\widehat{M}=\dfrac{4}{5}\)

\(\cos\widehat{P}=\sin\widehat{M}=\dfrac{3}{5}\)

\(\tan\widehat{P}=\cot\widehat{M}=\dfrac{4}{3}\)

\(\tan\widehat{M}=\cot\widehat{P}=\dfrac{3}{4}\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔMNP vuông tại M, ta được:

\(MN^2+MP^2=NP^2\)

\(\Leftrightarrow MP^2=3^2-\left(\sqrt{5}\right)^2=4\)

hay MP=2cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔMNP vuông tại M có MK là đường cao ứng với cạnh huyền NP, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}MN^2=NK\cdot NP\\MK\cdot NP=MN\cdot MP\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}KN=\dfrac{5}{9}\left(cm\right)\\MK=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔNMK vuông tại K có 

\(\sin\widehat{NMK}=\dfrac{KN}{MN}=\dfrac{\sqrt{5}}{9}\)

\(\cos\widehat{NMK}=\dfrac{MK}{MN}=\dfrac{2}{3}\)

\(\tan\widehat{NMK}=\dfrac{KN}{KM}=\dfrac{\sqrt{5}}{6}\)

\(\cot\widehat{NMK}=\dfrac{KM}{KN}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\)

b: \(\widehat{NMH}+\widehat{N}=90^0\)

\(\widehat{P}+\widehat{N}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{NMH}=\widehat{P}\)