Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
a^3+2b^3=a^3+b^3+b^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^6}=3ab^2$

$a^3+1+1\geq 3a$

$b^3+1+1\geq 3b$

Cộng theo vế các BĐT trên:

$a^3+2b^3+(a^3+2)+2(b^3+2)\geq 3ab^2+3a+6b$

$\Leftrightarrow 2(a^3+2b^3)+6\geq 3(ab^2+a+2b)=3.4=12$

$\Rightarrow a^3+2b^3\geq (12-6):2=3$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

VT=2a²b²+2a²c²+2b²c²-a⁴-b⁴-c⁴

=a²b²+a²c²+b²c²+a².(b²-a²)+b².(c²-b²)+c².(a²-c²)

=a²b²+a²c²+b²c²+a².(b+a)(b-a)+b².(c+b)(c-b)+c².(a+c)(a-c)

Ta lại có : a+b>c=>a-c>-b

                 b+c>a=>b-a>-c

                 c+a>b=>c-b>-a

(BĐT tam giác)

=>VT>a²b²+a²c²+b²c²+a².c.(-c)+b².a.(-a)+c².b.(-b)

=0

=>VT>0 =>dpcm

bạn sử dụng BĐT tam giác :

a  <  b + c => a² < b² + c²

b < a + c => b² < a² + c²

c < a + b => c² < a² + b²

bạn tự làm nhé vì mik làm bạn cũng ko chọn mik

Ta có:A = a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² - 2b²c² - 2a²c² = (a²)² + (b²)² + (c²)² + 2a²b² - 2b²c² - 2a²c² +

4a²b² = (a²+b²-c²)²-4a²b²

=(a²+b²-c²-2ab)(a²+b²-c²+2ab) (1)

Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên c>|a-b| =>c²>(|a-b|)²=(a-b)²

=>c²>a²+b²-2ab =>a²+b²-c²-2ab<0 (2)

lại có a+b>c =>(a+b)²>c² =>a²+b²-c² +2ab > 0 (3)

Từ (1)(2)(3) =>A<0 (Đpcm)

#Thắng: t ko nghĩ ông lại copy trong CHTT đấy, mà sai rồi, đề là CM>0; ông lại CM < 0

Cho a + b + c = 0

Ta có : (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

⇒ 0 = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

⇒ a² + b² + c² = - 2(ab + bc + ac)

⇒ (a² + b² + c²)² = 4(ab + bc + ac)²

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + a²c² + b²c²) = 4[a²b² + b²c² + a²c² + 2abc(a + b + c)]

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 4(a²b² + b²c² + a²c² + 0) - 2(a²b² + b²c² + a²c²)

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(a²b² + b²c² + a²c²)