Chứng minh bất đẳng thức: \(a^3+b^3\le a^4+b^4vớia+b\ge2\)
Cho \(a+b\ge2\) . Chứng minh bất đẳng thức \(a^3+b^3\ge a^2+b^2\)
\(a+b\ge2\Rightarrow a+b-2\ge0\)
Ta có \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)-\left(a-1\right)-\left(b-1\right)+a+b-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2-1\right)+\left(b-1\right)\left(b^2-1\right)+a+b-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)+\left(b-1\right)^2\left(b+1\right)+a+b-2\ge0\) luôn đúng với a,b không âm và \(a+b\ge2\)
Từ đó có điều phải chứng minh.
Chứng minh bất đẳng thức: \(a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
ta có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\Rightarrow a^2+1\ge2a\left(1\right)\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Rightarrow b^2+1\ge2b\left(2\right)\)
Lấy (1)+(2) ta có : \(a^2+1+b^2+1\ge2a+2b\forall a,b\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\forall a,b\)
Theo BĐT AM - GM :
\(a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2\left|a\right|=2a\)
\(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|\ge2b\)
Khi đó ta có đpcm
chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2(a,b>0)\)
giúp vs nhoa!!!
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(a^4+b^4+2a^2b^2\ge2\left(a^3b+ab^3\right)\)với mọi a,b
b) \(x^4+2\ge x^2+2x\)
Chứng minh: Bất đẳng thức: \(4.\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)
Biến đổi \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3=3a^2\left(a-b\right)-3b^2\left(a-b\right)=\left(3a^2-3b^2\right)\left(a-b\right)=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b>0\).
Từ đó ta có \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)
Chứng minh bất đẳng thức: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\) biết a; b; c dương
áp dụng bất đẳng thức buinhia cho ba số dương
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)=\left(a+b+c\right)3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)
Cho a , b , c > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\)
Chứng minh bất đẳng thức \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3>=0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a^2+ab+b^2\right)>=0\)(luôn đúng)
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a/ \(ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
b/ \(x^4+3\ge4x\)
a) \(\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b
b) Áp dụng BĐT Cauchy:
\(x^4+3=x^4+1+1+1\ge4\sqrt[4]{x^4.1.1.1}=4x\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)