\(a+b\ge2\Rightarrow a+b-2\ge0\)

Ta có \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)-\left(a-1\right)-\left(b-1\right)+a+b-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2-1\right)+\left(b-1\right)\left(b^2-1\right)+a+b-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)+\left(b-1\right)^2\left(b+1\right)+a+b-2\ge0\) luôn đúng với a,b không âm và \(a+b\ge2\)

Từ đó có điều phải chứng minh.

ta có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\Rightarrow a^2+1\ge2a\left(1\right)\)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Rightarrow b^2+1\ge2b\left(2\right)\)

Lấy (1)+(2) ta có :  \(a^2+1+b^2+1\ge2a+2b\forall a,b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\forall a,b\)

Theo BĐT AM - GM :

\(a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2\left|a\right|=2a\)

\(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|\ge2b\)

Khi đó ta có đpcm

Biến đổi \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3=3a^2\left(a-b\right)-3b^2\left(a-b\right)=\left(3a^2-3b^2\right)\left(a-b\right)=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b>0\).

Từ đó ta có \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)

Với a, b>0 các bn nha

áp dụng bất đẳng thức buinhia cho ba số dương

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)=\left(a+b+c\right)3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3>=0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a^2+ab+b^2\right)>=0\)(luôn đúng)

a) \(\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b

b) Áp dụng BĐT Cauchy:

\(x^4+3=x^4+1+1+1\ge4\sqrt[4]{x^4.1.1.1}=4x\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)