Đặt \(2\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=t\Rightarrow t^2-4=3x+4+4\sqrt{-x^2+3x+4}\)

Ta có:

\(2\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}\le\sqrt{\left(4+1\right)\left(x+1+4-x\right)}=5\)

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}\ge\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1+4-x}\ge\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\sqrt{5}\le t\le5\)

Phương trình trở thành:

\(t^2-4=mt\) \(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2-mt-4=0\)

\(ac=-4< 0\Rightarrow pt\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (nghĩa là đúng 1 nghiệm dương)

Vậy để pt có nghiệm thuộc \(\left[\sqrt{5};5\right]\Rightarrow x_1< \sqrt{5}\le x_2\le5\)

\(\Rightarrow f\left(\sqrt{5}\right).f\left(5\right)\le0\)

\(\Rightarrow\left(1-\sqrt{5}m\right)\left(21-5m\right)\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{5}}{5}\le m\le\dfrac{21}{5}\)

2.

Chắc đề đúng là "tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất"

Hàm bậc 2 có \(a=2>0\Rightarrow y_{min}=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{9\left(m+1\right)^2-8\left(m^2+3m-2\right)}{8}=-\dfrac{m^2-6m+25}{8}\)

\(\Rightarrow y_{min}=-\dfrac{1}{8}\left(m-3\right)^2-2\le-2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m-3=0\Rightarrow m=3\)

Δ=(2m-2)^2-4(m-3)

=4m^2-8m+4-4m+12

=4m^2-12m+16

=4m^2-12m+9+7=(2m-3)^2+7>=7>0 với mọi m

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

\(\left(\dfrac{1}{x1}-\dfrac{1}{x2}\right)^2=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}-\dfrac{2}{x_1x_2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)}{\left(x_1\cdot x_2\right)^2}-\dfrac{2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{\left(2m-2\right)^2-2\left(m-3\right)}{\left(-m+3\right)^2}-\dfrac{2}{-m+3}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{4m^2-8m+4-2m+6}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{4m^2-10m+10+2m-6}{\left(m-3\right)^2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\sqrt{11}\left(m-3\right)^2=2\left(4m^2-8m+4\right)\)

=>\(\sqrt{11}\left(m-3\right)^2=2\left(2m-2\right)^2\)

=>\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m-3}{2m-2}\right)^2=\dfrac{2}{\sqrt{11}}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m-3}{2m-2}=\sqrt{\dfrac{2}{\sqrt{11}}}\\\dfrac{m-3}{2m-2}=-\sqrt{\dfrac{2}{\sqrt{11}}}\end{matrix}\right.\)

mà m nguyên

nên \(m\in\varnothing\)

1.

Đặt \(x^2-2x+m=t\), phương trình trở thành \(t^2-2t+m=x\)

Ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x+m=t\\t^2-2t+m=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-t\right)\left(x+t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=t\\x=1-t\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=x^2-2x+m\\x=1-x^2+2x-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-x^2+3x\\m=-x^2+x+1\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y=-x^2+x+1\) và \(y=-x^2+3x\):

\(-x^2+x+1=-x^2+3x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{5}{4}\)

Đồ thị hàm số \(y=-x^2+3x\) và \(y=-x^2+x+1\): 

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m< \dfrac{5}{4}\)

Mà \(m\in\left[-10;10\right]\Rightarrow m\in[-10;\dfrac{5}{4})\)

5(+x)-4=24

8

Nếu chỉ cần biện luận số nghiệm thì: 

Đặt \(x^2=t\ge0\) \(\Rightarrow\left(2-\sqrt{5}\right)t^2+5t+7\left(1+\sqrt{2}\right)=0\) (1)

Ta có \(ac=\left(2-\sqrt{5}\right).7\left(1+\sqrt{2}\right)< 0\) nên (1) có 2 nghiệm trái dấu hay có đúng 1 nghiệm dương

\(\Rightarrow\) Pt đã cho có 2 nghiệm pb