\(M=5+5^2+5^3+.......+5^{2006}\)

\(\Leftrightarrow5M=5^2+5^3+.......+5^{2006}+5^{2007}\)

\(\Leftrightarrow5M-M=\left(5^2+5^3+.....+5^{2007}\right)-\left(5+5^2+......+5^{2006}\right)\)

\(\Leftrightarrow4M=5^{2007}-5\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{5^{2007}-5}{4}\)

Mà \(N=\dfrac{5^{2007}-129}{4}\)

\(\Leftrightarrow M-N=\dfrac{5^{2007}-5}{4}-\dfrac{5^{2007}-129}{4}\)

\(\Leftrightarrow M-N=\dfrac{129}{4}\)

Bạn xem lại có sai đề k ?

a, Gói 5 số tự nhiên liên tiếp là a,á+1,a+2.a+3.a+4(a thuộc N)

+Nếu a chia hết cho 5 , bài toán giải xong

+ Nếu a chia 5 dư 1, đặt a=5b+1(b thuộc N ) ta có a+4=5b+1+4=(5b+5) chia hết cho 5

+ Nếu a chia 5 dư 2, đặt a=5c+2 (c thuộc N) ta có a+3=5c+2+3=(5c+5) chia hết cho 5

+ Nếu a chia 5 dư 3 , đặt a=5d+3(d thuộc N) ta có a+2=5đ +3+2=(5d+5) chia hết cho5

+ Nếu a chia 5 dư 3, đặt a= 5e +4 ( e thuốc N ) ta có  a+1=5e+4+1=(5e+5) chia hết cho 5

Vậy trong 5 số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết  cho 5

b, 19 ^m+19^m+1,19^m+2,19^m+3,19m+4 là 5 số tự nhiên liên tiếp nên theo câu a có 1 số chia hết cho 5 ma 19^m ko chia hết cho 5 với mọi m thuộc N 

do đó : 19^m+1,19^m+2,19^m+3,19^m+4 có 1 số chia hết cho 5

=>(19^m+1);(19^m+2) (19^m+3), (19^m+4) chia hết cho 5

bài này mình chụi

\(M=1+5+5^2+...+5^{2005}\)

\(\Rightarrow5M=5+5^2+5^3+...+5+5^{2006}\)

\(\Rightarrow5M-M=\left(5+5^2+...+5^{2006}\right)-\left(1+5+...+5^{2005}\right)\)

\(\Rightarrow5M-M=4M=5^{2006}-1\Rightarrow M=\frac{5^{2006}-1}{4}\)

\(\frac{N}{4}=\frac{5^{2006}}{4}>\frac{5^{2006}-1}{4}=M\Rightarrow M< \frac{N}{4}\)

4,

Gọi ƯCLN của ( 5n+7, 7n+10) = d

Ta có:

5n+7 ⋮ d

7n+10 ⋮ d

=> 7.(5n+7) ⋮ d

      5.(7n+10) ⋮ d

=> 35n + 49 ⋮ d

     35n + 50 ⋮ d

=> 35n + 50 - (35n + 49) ⋮ d

=> 1 ⋮ d

=> d=1

Vậy phân số 5n+7/ 7n+10 là phân số tối giản (đpcm)

Vì n là số tự nhiên nên n có dạng:

n=2k hoặc n= 2k+1 ( k ∈N∈N)

Với n=2k thì: (n+3)(n+12) = (2k+3)(2k+12)

= 2(2k+3)(k+6)⋮⋮2

⇒⇒(n+3)(n+12) ⋮2⋮2

Với n = 2k+1 thì: (n+3)(n+12)= (2k+1+3)(2k+1+12)

= (2k+4)(2k+13)

= 2(k+2)(2k+13)⋮2⋮2

⇒⇒ (n+3)(n+12)⋮2⋮2

Vậy (n+3)(n+12) là số chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n

Câu 2: n= 12

Do A=\(\frac{\left(2x2\right)^6x\left(2x3\right)^6}{3^6x2^6}=2^{12}\)