1:Cho x;y>0:\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6\).Tìm min P=x+y

2:Cho x;y;z>0:x+y+z\(\le\)1.Chứng minh\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)

3:cho a;b;c;d>0.Chứng minh\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\ge\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)

4:Tìm max,min y=x+\(\sqrt{4-x^2}\)

5:Cho \(a\ge1;b\ge1\).Chứng minh \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)

6:Chứng minh:\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3\text{a}bc\left(a+b+c\right)\)

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
a) A = \(\frac{1}{x}.\left(\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}+\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}\right)\) với x>1
b) B = \(\frac{2x}{x+3\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+10}{x+5\sqrt{x}+6}\) với x>= 0
c) C = \(\frac{\sqrt{a^3}+a}{a^2+\sqrt{a^5}}.\left(\frac{b^2}{a-\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{b^2}{a+\sqrt{a^2-b^2}}\right)\) với a>0 và |a| > |b|
d) D = \(\frac{a+b\sqrt{a}}{b-a}.\sqrt{\frac{ab+a^2-2\sqrt{a^3b}}{b^2+2b\sqrt{a}+a}}:\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) với b>a>0

Bài 1;Cho x,y thoã mãn 0<x<1 ; 0<y<1 và \(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1\)tính  P=\(x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}\)

Bài 2 : Cho 3 số dương a,b,c thoã mãn \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)Chứng minh rằng \(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Bài 3 cho các số a,b,c,d dương thoã mãn \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)Chứng minh rằng \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

Bài 1: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:

\(\frac{x}{\sqrt{2xy+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{2yz+z^2}}+\frac{z}{\sqrt{2zx+x^2}}\ge\sqrt{3}\)

Bài 2: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: \(a+b+c=3\)

Tìm min của \(P=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\)

Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\sqrt{c^2+a^2-ca}\)

Rảnh rỗi :D

Câu 1:

Cho dãy tỉ  số bằng nhau:

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}\frac{a+b+c+2d}{d}\)

Tìm giá trị \(M=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\)

Câu 2 

Cho \(S=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}\)Chứng minh S không là số chính phương

Câu 3: Tìm các số a,b,c biết

ab=c;bc=4a;ac=9b

Câu 4

Cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)Chứng minh \(^{\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\frac{a}{d}}\)

Câu 5

a, Tính \(A=1+\frac{3}{^{2^3}}+\frac{4}{^{2^4}}+\frac{5}{2^5}+.......+\frac{100}{2^{100}}\)

b, So sánh \(\sqrt{17}+\sqrt{26}+1\)và \(\sqrt{99}\)

c, Chứng minh rằng \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{100}}>10\)

1.Tìm x để biểu thức sau có nghĩa

a) \(A=\sqrt{\frac{2x+3}{x-3}}\)

b) \(B=\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}\)

c)\(C=\sqrt{-\frac{5}{x+2}}\)

d) \(D=\sqrt{-x}+\frac{1}{x+3}\)

2. Rút gọn biểu thức

a) \(A=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-1}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-1}}{2}};\left(a>1\right)\)

b) \(B=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)( \(a\) > \(\sqrt{b}\); b > \(0\))

c)\(C=\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)( a > 0 ; a\(\ne\)1 )

d) \(D=\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}};\left(x>0\right)\)

1/ Cho mọi số nguyên dương .Chứng minh

\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}<1\)

2/ Chứng minh bất dẳng thức sau với các số a, b, c dương.

\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}\)

3/ Chứng minh

a) \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\) (với a, b, c dương)

b) \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)  (với a, b, c dương)

1. Cho các số \(a,b,c\)dương thỏa mãn \(ab+ac+bc=1\)

CMR : P= \(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{9}{4}\)

2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1

Tìm GTLN của biểu thức \(A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{z^3+y^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)

3. Giải pt

a) \(\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}\)

b)\(CM:\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)

c) Cho đường thẳng y= (m-2)x + 2   (d). CMR đg thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m 

4. Cho x,y là các số dương 

a) CM \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

b) Tìm Min M = \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)

1.Tính:

\(a,A=\sqrt{12\frac{1}{4}}.\left(\frac{-2}{7}\right)^2-\left[2,\left(4\right).2\frac{5}{11}\right]:\left(\frac{-42}{5}\right)\)

\(B=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{2016}{3^{2016}}\)

2. Tìm x,y,z biết:

a) \(\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|-6x=0\)

b) \(\sqrt{\left(x+\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(y+\sqrt{3}\right)^2}+\left|x-y-z\right|=0\)

c) \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-3}{4}\) và x-2y+3z=14.

d) \(5^x+5^{x+1}+5^{x+2}=3875\).

3. a) Cho bốn số a,b,c,d>0 thỏa mãn: \(\frac{1}{c}=\frac{ }{1}2.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\)và b là trung bình cộng của a và c. Chứng minh rằng bốn số đó lập nên một tỉ lệ thức.

b) Cho tỉ lệ thức: \(\frac{2a+13b}{3a-7b}=\frac{2c+13d}{3c-7d}\) (với a,b,c,d khác 0)

Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)