Câu hỏi của qưet

Question

1:Cho x;y>0:$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6$.Tìm min P=x+y

2:Cho x;y;z>0:x+y+z$\le$1.Chứng minh$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}$

3:cho a;b;c;d...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

1.

$6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}$

$\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.$

Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá

2.

$VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}$

Đặt $x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1$

$VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$Câu trả lời: 1.

$6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}$

$\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.$

Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá

2.

$VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}$

Đặt $x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1$

$VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

3.

$\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}$

Tương tự: $\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}$ ; $\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}$ ; $\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}$

Cộng vế với vế và rút gọn ta được: $3VT\ge3VP$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=1$

4.

ĐKXĐ: $-2\le x\le2$

$y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8$

$\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Mặt khác do $\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2$

$y_{min}=-2$ khi $x=-2$Câu trả lời: 3.

$\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}$

Tương tự: $\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}$ ; $\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}$ ; $\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}$

Cộng vế với vế và rút gọn ta được: $3VT\ge3VP$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=1$

4.

ĐKXĐ: $-2\le x\le2$

$y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8$

$\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Mặt khác do $\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2$

$y_{min}=-2$ khi $x=-2$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

5.

$\frac{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}{ab}=\frac{1.\sqrt{b-1}}{b}+\frac{1.\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1+b-1}{2b}+\frac{1+a-1}{2a}=1$

$\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$

6. Áp dụng BĐT cơ bản:

$\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)$

$\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3\left(ab.bc+bc.ca+ab+ca\right)$

$\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$Câu trả lời: 5.