Help me

a, xét \(\Delta ABC\) vuông tại A áp dụng hệ thức lượng\(=>AC^2=CH.BC=>HC=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{12^2}{15}=9,6cm\)

\(=>HB=BC-HC=15-9,6=5,4cm\)

áp dụng Pytago trong \(\Delta AHC\) vuông tại H

\(=>HA=\sqrt{AC^2-HC^2}=\sqrt{12^2-9,6^2}=7,2cm\)

\(b,\) do E,F là hình  chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC

\(=>\left\{{}\begin{matrix}EH\perp AB\\HF\perp AC\end{matrix}\right.\) mà \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) lần lượt vuông góc tại H

theo hệ thức lượng

\(=>\left\{{}\begin{matrix}AH^2=AE.AB\\AH^2=AF.AC\end{matrix}\right.\)=>\(AE.AB=AF.AC\)

c, do E,F là hình  chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC

=> tứ giác EHFA là hình chữ nhật\(=>AE=HF< =>HF^2=AE^2\)

áp dụng pytago trong \(\Delta EHA\) vuông tại E

\(=>HE^2+AE^2=AH^2< =>HE^2+HF^2=AH^2\)(1)

theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH

\(=>AH^2=HB.HC\left(2\right)\)

(1)(2)=>\(HE^2+HF^2=HB.HC\)

a) Ta có: \(BC=13cm\Rightarrow BC^2=13^2cm=169cm\)

Xét: \(AB^2+AC^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=BC^2\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền BC

b) Áp dụng định lý thích hai cạnh góc vuông tà tích giữa cạnh huyền và đường cao ta có:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{12\cdot5}{13}\approx4,6\left(cm\right)\)

c) Xét ΔAHB vuông tại H có đường cao HE ta có:  

\(\Rightarrow AH^2=AE\cdot AB\) (1)

Xét ΔAHC vuông tại H có đường cao HF ta có:

\(\Rightarrow AH^2=AF\cdot AC\) (2) 

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow AB\cdot AE=AC\cdot AF\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AF}=\dfrac{AC}{AE}\) (3) 

Dựa vào (3) 

Ta suy ra: \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\) (đpcm)

a: Xét ΔÂBC có BC^2=AB^2+AC^2

nên ΔABC vuông tại A

b: AH=AB*AC/BC=60/13(cm)

c: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

=>AE/AC=AF/AB

=>ΔAEF đồng dạng với ΔACB

=>góc AFE=góc ABC

b: Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH=FE

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\\AM\cdot MB=MH^2\end{matrix}\right.\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\\NA\cdot NC=NH^2\end{matrix}\right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{NAM}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật

Xét ΔHNM vuông tại H có 

\(NM^2=HN^2+HM^2\)

hay \(HB\cdot HC=AM\cdot MB+AN\cdot NC\)