Cho số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện: \(x^2+\left(3-x\right)^2\ge5\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^4+\left(3-x\right)^4+6x^2\left(3-x\right)^2\)
số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(x^2+\left(3-x\right)^2\ge5\)
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(x^4\)+\(\left(3-x\right)^4\)+\(6x^2\left(3-x\right)^2\)
Đặt \(x^2+\left(3-x\right)^2=a\ge5\)
Ta có:
\(x\left(3-x\right)=-\frac{1}{2}\left(2x^2-6x\right)\)
\(=-\frac{1}{2}\left(x^2-6x+9+x^2-9\right)\)
\(=-\frac{1}{2}\left(x^2+\left(3-x\right)^2-9\right)=-\frac{1}{2}\left(a-9\right)\)
Áp dụng ta có:
\(P=x^4+\left(3-x\right)^4+6x^2\left(3-x\right)^2=\left(x^2+\left(3-x\right)^2\right)^2+4x^2\left(3-x\right)^2\)
\(=a^2+\left(a-9\right)^2\)
\(=2a^2-18a+81=\left(2a^2-20a+50\right)+2a+31\)
\(=2\left(a-5\right)^2+2a+31\ge0+2.5+31=41\)
Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(x^2+\left(3-x\right)^2\ge5\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x^4+\left(3-x\right)^4+6x^2\left(3-x\right)^2\)
\(Q=x^2+\left(3-x\right)^2=\left[x+\left(3-x\right)\right]^2-2x\left(3-x\right)=3^2-2x\left(3-x\right)\)
đặt : t=2x.(3-x) => Q=9- t
\(Q\ge0\Rightarrow9-t\ge5\Rightarrow t\le4\)(*)
\(P=\left[x^2+\left(3-x\right)^2\right]^2+4x^2\left(3-x\right)^2=\left(9-t\right)^2+t^2\)
\(P=2t^2-18t+9^2=2\left(t^2-9.t\right)+9^2\)
\(P=2\left(t^2-2.\dfrac{9}{2}t+\dfrac{9^2}{4}\right)+9^2-\dfrac{9^2}{2}=2\left(t-\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{9^2}{2}\)
từ (*)
\(t\le4\Rightarrow\left(t-\dfrac{9}{2}\right)\le4-\dfrac{9}{2}=\dfrac{-1}{2}\Rightarrow\left(t-\dfrac{9}{2}\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\)
\(P\ge2.\dfrac{1}{4}+\dfrac{9^2}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{81}{2}=\dfrac{82}{2}=41\)
đẳng thức khi t =4 <=> 2x(3-x) =4
<=>x^2 -3x =-2 <=>x^2 -3x+2=0 <=>x^2 -2x -(x-2)
<=>(x-1)(x-2) =0=>x={1;2}
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} x=a\\ 3-x=b\end{matrix}\right.\). Theo điều kiện đb ta có: \(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2\geq 5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (a+b)^2-2ab\geq 5\Leftrightarrow 9-2ab\geq 5\)
\(\Leftrightarrow ab\leq 2\)
Ta có:
\(P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2\)
\(P=a^4+b^4+6a^2b^2=(a^2+b^2)^2+4a^2b^2\)
\(P=[(a+b)^2-2ab]^2+4a^2b^2=(9-2ab)^2+4a^2b^2\)
\(P=81+8a^2b^2-36ab=8(ab-2)^2-4ab+49\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} (ab-2)^2\geq 0\\ ab\leq 2\end{matrix}\right.\) nên \(P\geq 0-4.2+49\Leftrightarrow P\geq 41\)
Vậy \(P_{\min}=41\)
Dấu bằng xảy ra khi \(ab=2\Leftrightarrow \text{x=2 or x=1}\)
Cho x thay đổi thỏa mãn : \(x^2+\left(3-x\right)^2\ge5\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=x^4+\left(3-x\right)^4+6x^2\left(3-x\right)^2\)
Đặt \(y=3-x\).Ta có:\(\hept{\begin{cases}x+y=3\\x^2+y^2\ge5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+2xy=9\\x^2+y^2\ge5\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+4\left(x^2+y^2+2xy\right)\ge5+4.9=41\)
\(\Rightarrow5\left(x^2+y^2\right)+4\left(2xy\right)\ge41\)
Mặt khác \(16\left(x^2+y^2\right)^2+25\left(2xy\right)^2\ge40\left(x^2+y^2\right)\left(2xy\right)\left(1\right)\)
Cộng 2 vế của (1) với \(25\left(x^2+y^2\right)^2+16\left(2xy\right)^2\):
\(\Rightarrow41\left[\left(x^2+y^2\right)^2+\left(2xy\right)^2\right]\ge\left[5\left(x^2+y^2\right)+4\left(2xy\right)^2\right]\ge41\)
hay \(\left(x^2+y^2\right)^2+\left(2xy\right)^2\ge41\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge41\)
Vậy minP=41
You ơi , you thiếu điều kiện xảy ra dấu "="
Xét x,y là hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện xy = 1. Tìm max của biểu thức A = \(\dfrac{2.\left(x^3+y^3\right)}{\left(x^4+y^2\right).\left(x^2+y^4\right)}\)
\(A=\dfrac{2\left(x^3+y^3\right)}{\left(x^4+y^2\right)\left(x^2+y^4\right)}=2.\dfrac{\left(x^3+y^3\right)}{x^4y^4+x^2y^2+x^6+y^6}\)
\(=2.\dfrac{\left(x^3+y^3\right)}{1+1+x^6+y^6}=2.\dfrac{x^3+y^3}{x^6+y^6+2x^3y^3}=2.\dfrac{x^3+y^3}{\left(x^3+y^3\right)^2}=\dfrac{2}{x^3+y^3}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(x^3+y^3+1\ge3\sqrt{xy.1}=3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge2\Rightarrow\dfrac{2}{x^3+y^3}\le1\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow A\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1.
Vậy MaxA là 1, đạt được khi x=y=1.
Các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = \(\dfrac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Giúp mình với mình cần gấp
Hướng dẫn: đặt \(A=\dfrac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Khi đó \(F-A=x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow F=A\)
\(\Rightarrow2F=F+A=\sum\dfrac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{4\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\dfrac{x+y+z}{2}\Rightarrow F\ge\dfrac{x+y+z}{4}\)
1. Cho số nguyên dương x, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{\left(x+1\right)^6}{\left(x^3+7\right)\left(x^3+3x^2+4\right)}\).
2. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a-\sqrt{a}=\sqrt{b}-b\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(M=\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)\).
3. Cho \(\Delta OEF\) vuông tại O có \(OE=a\), \(OF=b\), \(EF=c\) và \(\widehat{OEF}=\alpha\), \(\widehat{OFE}=\beta\).
1)
i, Chứng minh rằng không có giá trị nào của a,b,c để biểu thức \(A=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{c}{a+b}\) nhận giá trị nguyên.
ii, Giả sử \(c\sqrt{ab}=\sqrt{2}\) , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\left(a+b\right)^2\).
2)
i, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}+\dfrac{1}{\sin^2\beta}-2\left(\sin^2\alpha+\sin^2\beta\right)+\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}-\dfrac{\tan\alpha+\cos\beta}{\cot\beta}\) .
ii, Tìm điều kiện của \(\Delta OEF\) khi \(2\cos^2\beta-\cot^2\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=2\).
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
mn giúp nha mơn nhiều
Xét: \(\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)\(=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=x-y\)(1)
Tương tự, ta có: \(\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}-\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}=y-z\)(2); \(\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}-\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}=z-x\)(3)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(\left[\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]\)\(-\left[\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]=0\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(=\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Mà \(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)nên \(2A=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(\ge\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2}}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right)\)\(\ge\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}{x+y}+\frac{\frac{\left(y+z\right)^2}{2}}{y+z}+\frac{\frac{\left(z+x\right)^2}{2}}{z+x}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\)(Do theo giả thiết thì x + y + z = 1)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Bài này t làm rồi, "nhẹ" không ấy mà :|
Dự đoán khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\Rightarrow A=\frac{1}{4}\). Ta c/m nó là GTNN của A
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
Cần chứng minh BĐT \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\)
BĐT cuối đúng tức ta có \(A_{Min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
P/s: Nguồn lời giải Câu hỏi của Vo Trong Duy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath, rảnh quá ngồi gõ lại :V
Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt tại H. Qua A vẽ đường thẳng song song với BE,CF lần lượt cắt CF,BE tại P và Q. Chứng minh: PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC
Giả sử x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M=x^4+y^4+z^4+12\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
ĐK: \(0\le x,y,z\le2\), \(x+y+z=3\)
Đặt \(a=x-1\),\(b=y-1\),\(c=z-1\)
\(-1\le a,b,c\le1\)và \(a+b+c=0\)
Khi đó:
\(M=\left(a+1\right)^4+\left(b+1\right)^4+\left(c+1\right)^4-12abc\)
\(=a^4+b^4+c^4+4.\left(a^3+b^3+c^3\right)+6.\left(a^2+b^2+c^2\right)+4.\left(a+b+c\right)-3-12abc\)
Vì \(a+b+c=0\)nên
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right),\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
Do đó
\(M=a^4+b^4+c^4+6.\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)hay \(x=y=z=1\)
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của M bằng 3
Cho các số thực dương x;y thỏa mãn: \(6x+9-\sqrt{y}.\left(y+1\right)=3y-\left(2x+4\right).\sqrt{2x+3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(D=xy+3y-4x^2-3\)