Bài làm:

a) Ta có: \(-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+4\right)-1=-\left(x-2\right)^2-1\le-1< 0\left(\forall x\right)\)

=> đpcm

b) \(x^4+3x^2+3=\left(x^4+3x^2+\frac{9}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x^2+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)

=> đpcm

a) -x² + 4x - 5 = -x² + 4x - 4 - 1

                       = -( x² - 4x + 4 ) - 1

                       = -( x - 2 )² - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x ( đpcm )

b) x⁴ + 3x² + 3 ( * )

Đặt t = x² 

(*) <=> t² + 3t + 3

     <=> ( t² + 3t + 9/4 ) + 3/4

     <=> ( t + 3/2 )² + 3/4

     <=> ( x² + 3/2 )² + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x ( đpcm )

\(ĐKXĐ:x\ne-1\)

\(A=\frac{x}{x+1}-\frac{3-3x}{x^2-x+1}+\frac{x+4}{x^3+1}\)

\(=\frac{x\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(3x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+\frac{x+4}{x^3+1}\)

\(=\frac{x^3-x^2+x}{x^3+1}+\frac{3x^2-3}{x^3+1}+\frac{x+4}{x^3+1}\)

\(=\frac{x^3-x^2+x+3x^2-3+x+4}{x^3+1}\)

\(=\frac{x^3+2x^2+2x+1}{x^3+1}\)

\(=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+2x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)

Ta có: \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

và \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}>0\forall xt/m\)(đpcm)

a) Tam thức \(2{x^2} + 3x + m + 1\) có \(\Delta  = {3^2} - 4.2.\left( {m + 1} \right) = 1 - 8m\)

Vì \(a = 2 > 0\) nên để \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\Delta  < 0 \Leftrightarrow 1 - 8m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{8}\)

Vậy khi \(m > \frac{1}{8}\) thì \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

b) Tam thức \(m{x^2} + 5x - 3\) có \(\Delta  = {5^2} - 4.m.\left( { - 3} \right) = 25 + 12m\)

Đề \(m{x^2} + 5x - 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m < 0\) và \(\Delta  = 25 + 12m \le 0 \Leftrightarrow m \le  - \frac{{25}}{{12}}\)

Vậy \(m{x^2} + 5x - 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(m \le  - \frac{{25}}{{12}}\)

Khó thế

ta có A=3x²-6x+5

=3(x²-2x+5/2)   = 3(x-1)²+9/2  >0

Điều kiện x ≠ 2 và x  ≠  0

Vì x - 1 2 ≥ 0 nên x - 1 2 + 2 ≥ 2 với mọi giá trị của x.

Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi x = 1.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại x = 1.

a, \(x^2-3x+4=x^2-1,5x-1,5x+2,25+1,75\)

\(=\left(x-1,5\right)^2+1,75\)

Với mọi giá trị của \(x\in R\) ta có:

\(\left(x-1,5\right)^21,75\ge1,75>0\)

với mọi giá trị của \(x\in R\).

Vậy \(x^2-3x+4>0\)(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

\(x^2-3x+4=x^2-3x+\dfrac{9}{4}+\dfrac{7}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\)

Ta có: \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\forall x\)

Vậy biểu thức lớn hơn 0 với mọi giá trị của x.