Xét ΔOTM vuông tại T có \(OM^2=OT^2+TM^2\)

=>\(TM^2=OM^2-OT^2\)

=>\(MT^2=d^2-R^2\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MTA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến TM và dây cung TA

\(\widehat{TBA}\) là góc nội tiếp chắn cung TA

Do đó: \(\widehat{MTA}=\widehat{TBA}\)

=>\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\)

Xét ΔMTA và ΔMBT có

\(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\)

\(\widehat{TMA}\) chung

Do đó: ΔMTA đồng dạng với ΔMBT

=>\(\dfrac{MT}{MB}=\dfrac{MA}{MT}\)

=>\(MT^2=MA\cdot MB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MA\cdot MB=MT^2=d^2-R^2\)

Xét đường tròn (O;R) có \(\widehat{MTA}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến MT (tiếp điểm là T) và dây cung TA \(\Rightarrow\widehat{MTA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)

Mà \(\widehat{MBT}\)là góc nội tiếp chắn cung TA \(\Rightarrow\widehat{MBT}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)

\(\Rightarrow\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\right)\)

Xét \(\Delta MTA\)và \(\Delta MBT\), ta có: \(\widehat{BMT}\)chung; \(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MTA~\Delta MBT\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{MT}{MB}=\frac{MA}{MT}\Rightarrow MT^2=MA.MB\)(1)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(MT^2=MC.MD\)(2)

Vì MT là tiếp tuyến tại T của (O) \(\Rightarrow MT\perp OT\)tại T \(\Rightarrow\Delta OMT\)vuông tại T

\(\Rightarrow OM^2=MT^2+OT^2\)\(\Rightarrow MT^2=OM^2-OT^2\)

Đồng thời MT là tiếp tuyến tại T của (O;R) \(\Rightarrow OT=R\)

Như vậy ta có \(MT^2=OM^2-R^2\)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có đpcm.

bài này dễ mà bạn 

có MTA=1/2 sd AT

ABT=1/2 sd AT

\(\Rightarrow\)MTA=MTB

xét tam giác MTA và MBT

M chung 

MTA=MTB

tam giác MTA  dong dang MBT

\(\Rightarrow\)MT/AB=MA/MT\(\Rightarrow\)MT²=MA.MT

( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung AT)

Kiến thức áp dụng

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.