( hình hơi xấu :V )

Giả sử tam giác ABC vuông tại A( AB < AC)   có AM là trung tuyến, AH là đường cao

Vì đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tỷ lệ với 12 :13 , do đó đặt AH = 12x,  AM =13 x

Suy ra BM = CM = 13x

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta AHM\)có:

HM²= AM² -  AH² =  (13x)² - (12x)² = (25 x)² 

=> HM = 5x 

Do đó HC =  5x + 13x = 18x 

Dễ thấy \(\Delta ABC\)Đồng dạng  \(\Delta HAC\)(g.g)

=> \(\frac{AB}{AC}\)= \(\frac{HA}{HC}\)= \(\frac{12x}{18x}\)= \(\frac{2}{3}\)

=> kl

độ dài cạnh huyền là:

5x2=10(cm)

độ dài cạnh góc vuông thứ hai là:

\(\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

độ dài đường cao là:

\(5\cdot5\sqrt{3}:10=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)

5cm

5⋅5√3:10=5√32(cm)

Dễ ẹt;

Giả sử \(\Delta\)ABC vuông tại A có phân giác AD sao cho DC=3BD;đương cao AH

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại I => BI vuông góc AB

Vì AD là p/g góc A => góc BAD=45 nên tam giác BAI vuông cân tại B nên BA=BI

Vì BI // AC nên \(\left(\frac{BI}{AC}\right)=\left(\frac{BD}{DC}\right)=\left(\frac{BD}{3BD}\right)=\frac{1}{3}\) (định lí Ta lét)

mà BI=AB nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}\)

Cm \(\Delta\)AHC đồng dạng \(\Delta\)BHA(g.g) nên \(\frac{BH}{HA}=\frac{HA}{HC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}\)

nên \(BH=\frac{1}{3}AH\);\(HC=3AH\)nên \(\frac{BH}{HC}=\frac{1}{9}\)