Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa \(\sin \alpha \) và \(\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\), giữa \(\cos \alpha \) và \(\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\).
a) Nêu nhận xét về vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:
\(\begin{array}{l}\alpha = {90^o};\\\alpha < {90^o};\\\alpha > {90^o}.\end{array}\)
b) Khi \({0^o} < \alpha < {90^o}\), nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha ,\;\sin \alpha \) với hoành độ và tung độ của điểm M.
a) Khi \(\alpha = {90^o}\), điểm M trùng với điểm C. (Vì \(\widehat {xOC} = \widehat {AOC} = {90^o}\))
Khi \(\alpha < {90^o}\), điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung)
Khi \(\alpha > {90^o}\), điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung)
b) Khi \({0^o} < \alpha < {90^o}\) , ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{{\left| {{x_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{x_0}} \right| = {x_0};\\\sin \alpha = \frac{{\left| {{y_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{y_o}} \right| = {y_o}\end{array}\)
Vì \(OM = R = 1\); \({x_0} \in \)tia \(Ox\)nên \({x_0} > 0\); \({y_0} \in \)tia \(Oy\)nên \({y_0} > 0\)
Vậy \(\cos \alpha \) là hoành độ \({x_0}\)của điểm M, \(\sin \alpha \) là tung độ \({y_0}\) của điểm M.
Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \) (\(\widehat {xOM} = \alpha ,\;\;\widehat {xON} = {90^o} - \alpha \)). Chứng mình rằng \(\Delta MOP = \Delta NOQ\). Từ đó nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha \) và \(\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\).
Tham khảo:
Trường hợp 1: \(\alpha = {90^o}\)
Khi đó \({90^o} - \alpha = {0^o}\)
Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.
Và \(\cos \alpha = 0 = \sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\)
Trường hợp 2: \({0^o} < \alpha < {90^o} \Rightarrow {0^o} < {90^o} - \alpha < {90^0}\)
M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.
Ta có: \(\alpha = \widehat {AOM};\;\;{90^o} - \alpha = \widehat {AON}\)
Dễ thấy: \(\widehat {AON} = {90^o} - \alpha = {90^o} - \widehat {NOB}\;\;\; \Rightarrow \alpha = \widehat {NOB}\)
Xét hai tam giác vuông \(NOQ\) và tam giác \(MOP\) ta có:
\(OM = ON\)
\(\widehat {POM} = \widehat {QON}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta NOQ = \Delta MOP\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OP = OQ\\QN = MP\end{array} \right.\end{array}\)
Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(N\left( {{y_o};{x_0}} \right)\). Nói cách khác:
\(\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha ;\;\;\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
Đơn giản các biểu thức sau:
a) \(\sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o};\)
b) \(2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cot \alpha - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\) với \({0^o} < \alpha < {90^o}\).
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin {100^o} = \sin \left( {{{180}^o} - {{80}^o}} \right) = \sin {80^o}\\\cos {164^o} = \cos \left( {{{180}^o} - {{16}^o}} \right) = - \cos {16^o}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o}\)\( = \sin {80^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o}-\cos {16^o}\)\( = 2\sin {80^o}.\)
b)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.\quad ({0^o} < \alpha < {90^o})\)\( \Rightarrow 2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cot \alpha - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\) \( = 2\sin \alpha .\cot \alpha - \left( { - \cos \alpha } \right).\tan \alpha .\left( { - \cot \alpha } \right)\)\( = 2\sin \alpha .\cot \alpha - \cos \alpha .\tan \alpha .\cot \alpha \)
\( = 2\sin \alpha .\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \cos \alpha .\left( {\tan \alpha .\cot \alpha } \right)\)\( = 2\cos \alpha - \cos \alpha .1 = \cos \alpha .\)
Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).
a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đổi với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa \(\cos ( - \alpha )\) và \(\cos \alpha \); \(\sin ( - \alpha )\)và \(\sin \alpha \)
b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: \(\tan ( - \alpha )\) và \(\tan \alpha \); \(\cot ( - \alpha )\) và \(\cot \alpha \)
a) Hai điểm M và N đối xứng nhau qua hệ trục Oxy.
Suy ra
\(\cos ( - \alpha )\)=\(\cos \alpha \); \(\sin ( - \alpha )\)= \( - \sin \alpha \)
b) Ta có:
\(\tan ( - \alpha )\) =\( - \tan \alpha \); \(\cot ( - \alpha )\)\( - \cot \alpha \)
Vật có khối lượng m đặt trên mặt phẳng ngang . Tác dụng vào vật một lực kéo F hợp với phương ngang một góc α. Thấy vật chuyển động với gia tốc a. Cho hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là μ. Biểu thức của lực F ?
A. \(\frac{m\left(a+g\right)}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)
B. \(\frac{m\left(a+\mu g\right)}{\mu\cos\alpha+\sin\alpha}\)
C. \(\frac{m\left(a+\mu g\right)}{\mu\sin\alpha+\cos\alpha}\)
D. \(\frac{m\left(a+\mu g\right)}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)
Rút gọn các biểu thức (không dùng bảng số và máy tính)
a) \(\sin^2\left(180^0-\alpha\right)+\tan^2\left(180^0-\alpha\right).\tan^2\left(270^0+\alpha\right)+\sin\left(90^0+\alpha\right)\cos\left(\alpha-360^0\right)\)
b) \(\dfrac{\cos\left(\alpha-180^0\right)}{\sin\left(180^0-\alpha\right)}+\dfrac{\tan\left(\alpha-180^0\right)\cos\left(180^0+\alpha\right)\sin\left(270^0+\alpha\right)}{\tan\left(270^0+\alpha\right)}\)
c) \(\dfrac{\cos\left(-288^0\right)\cot72^0}{\tan\left(-162^0\right)\sin108^0}-\tan18^0\)
d) \(\dfrac{\sin20^0\sin30^0\sin40^0\sin50^0\sin60^0\sin70^0}{\cos10^0\cos50^0}\)
a)\(sin^2\left(180^o-\alpha\right)+tan^2\left(180-\alpha\right).tan^2\left(270^o+\alpha\right)\)\(+sin\left(90^o+\alpha\right)cos\left(\alpha-360^o\right)\)
\(=sin^2\alpha+tan^2\alpha.cot^2\alpha+cos\alpha cos\alpha\)
\(=sin^2\alpha+cos^2\alpha+\left(tan\alpha cot\alpha\right)^2=1+1=2\).
\(\dfrac{cos\left(\alpha-180^o\right)}{sin\left(180^o-\alpha\right)}+\dfrac{tan\left(\alpha-180^o\right)cos\left(180^o+\alpha\right)sin\left(270^o+\alpha\right)}{tan\left(270^o+\alpha\right)}\)
\(=\dfrac{cos\left(180^o-\alpha\right)}{sin\left(180^o-\alpha\right)}+\dfrac{-tan\left(180^o-\alpha\right).cos\alpha.sin\left(90^o+\alpha\right)}{-tan\left(90^o+\alpha\right)}\)
\(=tan\left(180^o-\alpha\right)+\dfrac{tan\alpha.cos\alpha.cos\alpha}{cot\alpha}\)
\(=-tan\alpha+tan^2\alpha cos^2\alpha\)
\(=tan\alpha\left(-1+tan\alpha cos^2\alpha\right)\)
\(=tan\alpha\left(sin\alpha cos\alpha-1\right)\).
c) \(\dfrac{cos\left(-288^o\right)cot72^o}{tan\left(-162^o\right)sin108^o}-tan18^o\)
\(=\dfrac{cos72^ocot72^o}{tan18^o.sin72^o}-tan18^o\)
\(=\dfrac{cos^272^o.cos18^o}{sin72^osin18^o.sin72^o}-tan18^o\)
\(=cot^272^ocot18^o-tan18^o\)
\(=tan^218^ocot18^o-tan18^o\)
\(=tan18^o-tan18^o=0\).
1.Cho các góc\(\alpha,\beta\)nhọn và \(\alpha< \beta\). Chứng minh \(\sin\left(\beta-\alpha\right)=\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha\)
2.Cho các góc \(\alpha,\beta\)nhọn và \(\alpha< \beta\).Chứng minh \(\cos\left(\beta-\alpha\right)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\)
3.Cho các góc \(\alpha,\beta\)nhọn. Chứng minh \(\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\)
4.Cho các góc \(\alpha,\beta\)nhọn. Chứng minh \(\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:
a) \(\cos \left( {\alpha - b} \right)\) và \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right)\);
b) \(\sin \left( {\alpha - \beta } \right)\)và \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\).
a,
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha - b} \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)\\ = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha sin\beta + \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha sin\beta \\ = 2\cos \alpha \cos \beta \end{array}\)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha - b} \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)\\ = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha sin\beta - \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha sin\beta \\ = 2\sin \alpha sin\beta \end{array}\)
b,
\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha - \beta } \right) - \sin \left( {\alpha + \beta } \right)\\ = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha sin\beta - \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha sin\beta \\ = - 2\cos \alpha sin\beta \end{array}\)
\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)\\ = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha sin\beta + \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha sin\beta \\ = 2\sin \alpha \cos \beta \end{array}\)
Giúp mình vs chiều phải nộp bài rồi
a)C= \(4\cos^2\alpha-3\sin^2\alpha.cos=\frac{4}{7}\)
b)\(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\alpha.\sin^2\beta+\sin^2\alpha\)
c)2\(\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2-\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\alpha.\cos\alpha\right)\)
d)\(\left(\tan\alpha-\cot\alpha\right)^2-\left(\sin\alpha+\cot\alpha\right)^2\)
Bạn không ghi rõ yêu cầu đề bài thì làm sao mà làm?