Xét ΔOAB có EF//AB

nên \(\dfrac{OE}{EA}=\dfrac{OF}{FB}\left(1\right)\)

Xét ΔOAC có EH//AC

nên \(\dfrac{OE}{EA}=\dfrac{OH}{HC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{OF}{FB}=\dfrac{OH}{HC}\)

Xét ΔOBC có \(\dfrac{OF}{FB}=\dfrac{OH}{HC}\)

nên FH//BC

\(\frac{OA}{AD}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AOC}}{S_{ACD}}=\frac{S_{AOB}+S_{AOC}}{SABC}\)

Tương tự rồi cộng lại ta đc

\(\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}=\frac{2\left(S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}\right)}{S_{ABC}}=2\)

Bài Giải

Đặt SBOC=x2,SAOC=y2,SAOB=z2 ⇒SABC=SBOC+SAOC+SAOB=x2+y2+z2

Ta có : ADOD =SABCSBOC =AO+ODOD =1+AOOD =x2+y2+z2x2 =1+y2+z2x2 

⇒AOOD =y2+z2x2 ⇒√AOOD =√y2+z2x2 =√y2+z2x 

Tương tự ta có √OBOE =√x2+z2y2 =√x2+z2y ;√OCOF =√x2+y2z2 =√x2+y2z 

⇒P=√x2+y2z +√y2+z2x +√x2+z2y ≥x+y√2z +y+z√2x +x+z√2y 

           =1√2 [(xy +yx )+(yz +zy )+(xz +zx )]≥1√2 (2+2+2)=3√2

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z⇒SBOC=SAOC=SAOB=13 SABC

⇒ODOA =OEOB =OFOC =13 ⇒O là trọng tâm của tam giác ABC

Vậy MinP=3√2 khi O là trọng tâm của tam giác ABC

c) Ta có: E là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta\)ABC => BE là phân giác ^ABH

Xét đường tròn (O) có đường kính EF và B thuộc (O) => BE vuông BF

=> BF là phân giác ngoài \(\Delta\)ABH tại đỉnh B

Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{AE}{EH}=\frac{AF}{FH}.\)(đpcm).

mình cám ơn Kurakawa Neko nhé !

a, Vì HE ⊥ AB ; FA ⊥ AB => HE // FA (từ ⊥ đến // )

+, EA ⊥ AC ; HF ⊥ AC => EA // HF (từ ⊥ đến // )

Xét tứ giác AEHF có: HE // FA (cmt) ; EA // HF (cmt)

=> Tứ giác AEHF là hình bình hành (dhnb)

 mà \(\hat{EAF} =90^0\)

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

=> AH = EF

b, Vì AEHF là hình chữ nhật (cmt)

=> EH//AF;  EH = AF mà AF= FK (gt)

=> EH = FK

+, Xét tứ giác EHKF có: EH = FK (cmt)

                                 EH // FK (do EH // AF; K ∈ AF)

=> Tứ giác EHKF là hình bình hành (dhnb)

https://olm.vn/hoi-dap/detail/105577230211.html

Tham khảo