Cho đường tròn tâm O. Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) đối nhau.
Trong khong gian cho điểm O, và bốn điểm A,B,C,D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:
A. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
B. \(\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}\)
C. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
D. \(\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}\)
Cho nửa đường tròn tâm O, bán kính \(\frac{PQ}{2}\)ba điểm A, B, C nằm trên nửa đường tròn. CMR l\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)l > 1 biết PQ = 2
Trước tiên ta chứng minh với A, B, C là ba góc của 1 tam giác thì:
\(cos\left(2A\right)+cos\left(2B\right)+cos\left(2C\right)>-1\)
Ta có:
\(cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{1+cos\left(2A\right)}{2}+\frac{1+cos\left(2B\right)}{2}+cos^2C\)
\(=1+\frac{cos\left(2A\right)+cos\left(2B\right)}{2}+cos^2C\)
\(=1+cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+cos^2C\)
\(=1-cos\left(C\right).cos\left(A-B\right)+cos^2C\)
\(=1-cos\left(C\right)\left(cos\left(A-B\right)-cosC\right)\)
\(=1-cos\left(C\right)\left(cos\left(A-B\right)-cos\left(A+B\right)\right)\)
\(=1-2cos\left(A\right).cos\left(B\right).cos\left(C\right)\)
Ta lại có:
\(-1\le cosA\le1;-1\le cosB\le1;-1\le cosC\le1\)
\(\Rightarrow cosA.cosB.cosC< 1\)
\(\Rightarrow cos\left(2A\right)+cos\left(2B\right)+cos\left(2C\right)=1-2cosA.cosB.cosC>1-2=-1\)
Quay lại bài toán ta có:
TH 1: Trong \(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}\) có 2 vecto cùng phương ngược chiều giả sử là \(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\) thì
\(\Rightarrow|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OC}|=OC=1\)
TH 2: Cả 3 vecto không cùng phương với nhau ta có ABC tạo thành tam giác.
\(|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}|^2=OA^2+OB^2+OC^2+2\left(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}\right)\)
\(=3+2\left(cos\left(2A\right)+cos\left(2B\right)+cos\left(2C\right)\right)>3-2=1\)
Đâu = xảy ra khi trong ba vecto có 2 vecto cùng phương ngược chiều. Hay khi khi tam giác ABC là tam giác vuông.
Trước tiên ta chứng minh với A, B, C là ba góc của 1 tam giác thì:
cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)>−1
Ta có:
cos2A+cos2B+cos2C=1+cos(2A)2 +1+cos(2B)2 +cos2C
=1+cos(2A)+cos(2B)2 +cos2C
=1+cos(A+B).cos(A−B)+cos2C
=1−cos(C).cos(A−B)+cos2C
=1−cos(C)(cos(A−B)−cosC)
=1−cos(C)(cos(A−B)−cos(A+B))
=1−2cos(A).cos(B).cos(C)
Ta lại có:
−1≤cosA≤1;−1≤cosB≤1;−1≤cosC≤1
⇒cosA.cosB.cosC<1
⇒cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=1−2cosA.cosB.cosC>1−2=−1
Quay lại bài toán ta có:
TH 1: Trong →OA;→OB;→OC có 2 vecto cùng phương ngược chiều giả sử là →OA;→OB thì
⇒|→OA+→OB+→OC|=|→OC|=OC=1
TH 2: Cả 3 vecto không cùng phương với nhau ta có ABC tạo thành tam giác.
|→OA+→OB+→OC|2=OA2+OB2+OC2+2(→OA.→OB+→OB.→OC+→OC.→OA)
=3+2(cos(2A)+cos(2B)+cos(2C))>3−2=1
Đâu = xảy ra khi trong ba vecto có 2 vecto cùng phương ngược chiều. Hay khi khi tam giác ABC là tam giác vuông.
Trước tiên ta chứng minh với A, B, C là ba góc của 1 tam giác thì:
cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)>−1
Ta có:
cos2A+cos2B+cos2C=1+cos(2A)2+1+cos(2B)2+cos2C
=1+cos(2A)+cos(2B)2+cos2C
=1+cos(A+B).cos(A−B)+cos2C
=1−cos(C).cos(A−B)+cos2C
=1−cos(C)(cos(A−B)−cosC)
=1−cos(C)(cos(A−B)−cos(A+B))
=1−2cos(A).cos(B).cos(C)
Ta lại có:
−1≤cosA≤1;−1≤cosB≤1;−1≤cosC≤1
⇒cosA.cosB.cosC<1
⇒cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=1−2cosA.cosB.cosC>1−2=−1
Quay lại bài toán ta có:
TH 1: Trong →OA;→OB;→OC có 2 vecto cùng phương ngược chiều giả sử là →OA;→OB thì
⇒|→OA+→OB+→OC|=|→OC|=OC=1
TH 2: Cả 3 vecto không cùng phương với nhau ta có ABC tạo thành tam giác.
|→OA+→OB+→OC|2=OA2+OB2+OC2+2(→OA.→OB+→OB.→OC+→OC.→OA)
=3+2(cos(2A)+cos(2B)+cos(2C))>3−2=1
Đâu = xảy ra khi trong ba vecto có 2 vecto cùng phương ngược chiều. Hay khi khi tam giác ABC là tam giác vuông.
m.n ơi giúp mk giải bài này với, mk cần gấp
Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi C và D là hai điểm thuộc đường tròn cho hai dây cung AC và BD cắt nhau tại I.
a/ Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
b/ Gọi M là điểm nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm E, F. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{ME}.\overrightarrow{MF}=MO^2-R^2\)
mk cần gấp cho ngày mai ak mong m.n giúp mình, thank you very much
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
A. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
B. \(\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}\)
C. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
D. \(\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}\)
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
A. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
B. \(\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}\)
C. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
D. \(\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}\)
Điều kiện cần và đủ để ABCD là hbh là \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B,
a) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AM} \) ngược hướng
b) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) cùng phương
c) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AM} \) cùng hướng
d) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược hướng
Tham khảo:
a) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AM} \) ngược hướng
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//AM\\B \; \text {và}\; M \; \text {nằm cùng phía so với điểm A}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) A, B, thẳng hàng và A nằm giữa B và M
b) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) cùng phương
TH1: \(MA < MB\)
M, A, B thẳng hàng & A nằm giữa M và B.
TH2: \(MA > MB\)
M, A, B thẳng hàng & B nằm giữa M và A.
c) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AM} \) cùng hướng
TH1: \(AM < AB\)
A, M, B thẳng hàng & M nằm giữa A và B.
TH2: \(AB < AM\)
A, M, B thẳng hàng & B nằm giữa A và M.
d) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược hướng
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA//MB\\A \; \text {và} \; B\; \text {nằm về hai phía so với điểm M}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) A, M, B thẳng hàng & M nằm giữa A và B.
Vậy điều kiện cần và đủ để M nằm giữa A và B là d) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược hướng
Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O’;R’) và một điểm A trên (O;R) . Xác định điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OA}\).
Vì : \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OA}\Rightarrow T_{\overrightarrow{OA}}:M\rightarrow N\). Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) . Mặt khác N lại nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách tìm :
- Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N
- Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M
Cho đường tròn \(\left(O\right)\) và hai điểm \(A,B\). Một điểm \(M\) thay đổi trên đường tròn \(\left(O\right)\) . Tìm quỹ tích điểm \(M'\) sao cho \(\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}\)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính \(AB=2R\). Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I
a) Chứng minh \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\) theo R
a) Nối BM
Ta có AM= AB.cosMAB
=> || = ||.cos(, )
Ta có: . = ||.|| ( vì hai vectơ , cùng phương)
=> . = ||.||.cosAMB.
nhưng ||.||.cos(, ) = .
Vậy . = .
Với . = . lý luận tương tự.
b) . = .
. = .
=> . + . = ( + )
=> . + . = 4R2