Cho tam giác ABC có \(AB = 100,\widehat B = {100^o},\widehat C = {45^o}.\) Tính:
a) Độ dài các cạnh AC, BC
b) Diện tích tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có BC = 4cm, \(\widehat{B}=70^o\), \(\widehat{C}=45^o\). Tính độ dài AC và diện tích tam giác ABC?
Kẻ đường cao AH ứng với BC, đặt \(CH=x\Rightarrow BH=4-x\)
Trong tam giác vuông ABH
\(tanB=\dfrac{AH}{BH}\Rightarrow AH=BH.tanB=\left(4-x\right).tan70^0\)
Trong tam giác vuông ACH:
\(tanC=\dfrac{AH}{CH}\Rightarrow AH=CH.tanC=x.tan45^0=x\)
\(\Rightarrow\left(4-x\right)tan70^0=x\)
\(\Leftrightarrow\left(1+tan70^0\right)x=4.tan70^0\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4tan70^0}{1+tan70^0}\approx2,2\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow CH=AH=2,2\left(cm\right)\)
\(AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=AH\sqrt{2}\approx3,1\left(cm\right)\)
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.2,2.4=4,4\left(cm^2\right)\)
Cho tam giác ABC có \(BC = 12,CA = 15,\widehat C = {120^o}.\) Tính:
a) Độ dài cạnh AB.
b) Số đo các góc A, B.
c) Diện tích tam giác ABC.
a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos C\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{B^2} = {15^2} + {12^2} - 2.15.12.\cos {120^o}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = 549\\ \Leftrightarrow AB \approx 23,43\end{array}\)
b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)
\( \Rightarrow \sin A = \frac{{BC}}{{AB}}.\sin C = \frac{{12}}{{23,43}}.\sin {120^o} \approx 0,44\)
\( \Rightarrow \widehat A \approx {26^o}\) hoặc \(\widehat A \approx {154^o}\) (Loại)
Khi đó: \(\widehat B = {180^o} - ({26^o} + {120^o}) = {34^o}\)
c)
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}CA.CB.\sin C = \frac{1}{2}.15.12.\sin {120^o} = 45\sqrt 3 \)
Cho tam giác ABC có \(\widehat{ABC}=60^o,\widehat{BCA}=45^o\) và AB = 4cm. Kẻ hai đường cao AD và CE của tam giác. Gọi H, K tương ứng là chân đường vuông góc kẻ từ D và E tới AC.
a) Tính độ dài các cạnh BC và CA và diện tích tam giác ABC
b) Tính diện tích của tam giác BDE
c) Tính AH.AK
Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {75^o},\widehat C = {45^o}\) và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.
Ta có: \(\widehat B = {75^o},\widehat C = {45^o}\)\( \Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {{{75}^o} + {{45}^o}} \right) = {60^o}\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}\)
\( \Rightarrow AB = \sin C.\frac{{BC}}{{\sin A}} = \sin {45^o}.\frac{{50}}{{\sin {{60}^o}}} \approx 40,8\)
Vậy độ dài cạnh AB là 40,8.
Cho tam giác ABC có AB = 12; \(\widehat B = {60^o}\); \(\widehat C = {45^o}\). Tính diện tích của tam giác ABC.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)
\( \Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {60^o}.\frac{{12}}{{\sin {{45}^o}}} = 6\sqrt 6 \)
Lại có: \(\widehat A = {180^o} - ({60^o} + {45^o}) = {75^o}\)
\( \Rightarrow \)Diện tích tam giác ABC là:
\(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.12.6\sqrt 6 .\sin {75^o} \approx 85,2\)
Vậy diện tích tam giác ABC là 85,2.
Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và \(\widehat A = {45^o}\). Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - \,2b\,c.\cos A\quad (1)\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - \,2a\,c.\cos B\quad (2)\end{array}\)
(trong đó: AB = c, BC = a và AC = b)
Ta được: \(B{C^2} = {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos {45^o} = 89 - 40\sqrt 2 \)\( \Rightarrow BC \approx 5,7\)
Từ (2) suy ra \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}\,}}{{2a\,c}}\);
Mà: a = BC =5,7; b =AC = 8; c =AB =5.
\( \Rightarrow \cos B \approx \frac{{ - 217}}{{1900}} \Rightarrow \widehat B \approx {97^o} \Rightarrow \widehat C \approx {38^o}\)
Vậy tam giác ABC có BC = 5,7, \(\widehat B = {97^o},\widehat C = {38^o}\)
Bài 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}=60^o\), \(\widehat{C}=55^o\), AC = 4,5cm. Tính diện tích tam giác ABC?
Kẻ đường cao AH ứng với BC
Trong tam giác vuông ACH:
\(sinC=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AH=AC.sinC\)
\(cosC=\dfrac{CH}{AC}\Rightarrow CH=AC.cosC\)
Trong tam giác vuông ABH:
\(tanB=\dfrac{AH}{BH}\Rightarrow BH=\dfrac{AH}{tanB}=\dfrac{AC.sinC}{tanB}\)
Do đó:
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}AH\left(BH+CH\right)=\dfrac{1}{2}.4,5.sin55^0.\left(\dfrac{4,5.sin55^0}{tan60^0}+4,5.cos55^0\right)\approx8,68\left(cm^2\right)\)
Tam giác ABC có \(\widehat{A}=45^o\),\(\widehat{B}=30^o\)và AB = 5cm . Kẻ đường cao CH . Tính :
a) Độ dài các đoạn thẳng AH , BH , HC
b) Diện tích tam giác ABC
( làm tròn kq đến hàng phần trăm )
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = \)\({100^0}\),\(\widehat B\)\( = {40^o}\).
a) Tìm cạnh lớn nhất của tam giác ABC.
b) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
a) Do \(\widehat{A}=100^0>90^0\) nên là góc tù, do đó, \(\widehat{A}\) là góc lớn nhất trong tam giác ABC.
\( \Rightarrow \) BC là cạnh lớn nhất của tam giác ABC (do BC đối diện với góc A trong tam giác ABC)
b)
Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác ABC, ta có:
\( \Rightarrow \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat C = {180^o} - {100^o} - {40^o} = {40^o}\)
\( \Rightarrow\widehat C = \widehat B = {40^o}\)
\( \Rightarrow \) ABC là tam giác cân tại A.