a) Áp dụng định lí py-ta-go vào tam giác ABC , ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=3^2+4^2\)

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

b) Vì AM là đường trung tuyến 

Mà BC là cạnh huyền

=> AM = BM = CM 

MÀ AM = MD

=> AM = MD = BM = CM

<=> AM + MD = BM + MC

<=> AD = BC .

Xét tứ giác ABDC có : AD = BC và AD cắt BC tại trung điểm M của mỗi đường

=> ABDC là hình chữ nhật 

=> AB = CD ; AB // CD

Xét tứ giác ADBC có

M la trung điểm chung của AB và DC

nên ADBC là hình bình hành

=>góc ADB=góc ACB

Xét ΔABC có

MN//BC

AM/AB=1/2

=>N là trung điểm của AC

Xét ΔNBC và ΔNEA có

góc NCB=góc NAE

NC=NA

góc BNC=góc ENA

=>ΔNBC=ΔNEA

=>NB=NE

=>AECB là hình bình hành

=>CE=AB=AC=BD và góc AEC=góc ABC

=>góc AEC=góc ADB

Gọi giao của BD và CE là K

Xét ΔKDE có góc KDE=góc KED

nên ΔKDE cân tại K

=>KD=KE

=>KB=KC

=>K nằm trên trung trực của BC

mà AH là trung trực của BC

nên A,H,K thẳng hàng

Xét \(\Delta\)ECF có EB là đường trung tuyến, \(\frac{AE}{EB}\)=\(\frac{2}{3}\)=>A là trọng tâm của \(\Delta\)ECF

Lại có: CA cắt cạnh EF tại I

Nên CI là đường trung tuyến ứng với cạnh EF hay I là trung điểm cạnh EF

a: Xét ΔABC vuông tạiA và ΔAEC vuông tại A có

AB=AE

AC chung

=>ΔABC=ΔAEC

b: Xet ΔCEB có

CA,BH là trung tuyến
CA cắt BH tại M

=>M là trọng tâm

=>CM=2/3*12=8cm

c: Xét ΔCBE có

A là trung điểm của BE

AK//CE
=>K la trung điểm của BC

=>E,M,K thẳng hàng

Lời giải:
a) Xét tam giác $HEA$ và $HDB$ có:

$\widehat{HEA}=\widehat{HDB}=90^0$

$\widehat{EHA}=\widehat{DHB}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \triangle HEA\sim \triangle HDB$ (g.g)

b) Xét tam giác $CKD$ và $CDA$ có:

$\widehat{C}$ chung

$\widehat{CKD}=\widehat{CDA}=90^0$ 

$\Rightarrow \triangle CKD\sim \triangle CDA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{CK}{CD}=\frac{CD}{CA}\Rightarrow CD^2=CK.CA$ (đpcm)

c) Xét tam giác $ADK$ và $DCK$ có:

$\widehat{AKD}=\widehat{DKC}=90^0$

$\widehat{ADK}=\widehat{DCK}$ (cùng phụ $\widehat{KDC}$)

$\Rightarrow \triangle ADK\sim \triangle DCK$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AD}{DC}=\frac{DK}{CK}\Leftrightarrow \frac{FD}{2DC}=\frac{DK}{2CN}$

$\Rightarrow \frac{FD}{DC}=\frac{DK}{CN}$

Tam giác $FDK$ và $DCN$ đồng dạng với nhau do:

$\frac{FD}{DC}=\frac{DK}{CN}$ (cmt)

$\widehat{FDK}=\widehat{DCN}$ (cùng phụ $\widehat{KDC}$)

$\Rightarrow \frac{DFK}=\widehat{CDN}$

$\Rightarrow \widehat{DFK}+\widehat{FDN}=\widehat{CDN}+\widehat{FDN}$

$\Leftrightarrow 180^0-\widehat{FSD}=\widehat{FDC}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{FSD}=90^0$ nên ta có đpcm.

Hình vẽ:

a: Xét tứ giác ACBD có

M là trung điểm chug của AB và CD

=>ACBD là hình bình hành

=>AD//BC và AD=BC

b: AC+CB=AC+AD>CD=2CM

c: Xét ΔACD co

MA là trung tuyến

AK=2/3AM

=>K là trọng tâm

=>N là trung điểm của AD