Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a) \(y = - {x^2}\)
b) \(y = \sqrt {2 - 3x} \)
c) \(y = \frac{4}{{x + 1}}\)
d) \(y = \left\{ \begin{array}{l}1{\rm{ khi }}x \in \mathbb{Q}\\0{\rm{ khi }}x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\end{array} \right.\)
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\) là
A. \(\mathbb{R}\backslash \{ k2\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}{\rm{\} }}\)
B. \(\mathbb{R}\;\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\)
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\)
D. \(\mathbb{R}\backslash \{ k\pi {\rm{|}}k\; \in \;\mathbb{Z}{\rm{\} }}\)
Hàm số xác định khi: \(\sin x - 1\; \ne 0\; \Leftrightarrow \sin x \ne 1\; \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\;\;k \in \mathbb{Z}\)
Vậy ta chọn đáp án B
Cho hàm số: \(y = \left\{ \begin{array}{l} - x\,{\rm{ nếu} \, x < 0}\\{ x\, \rm{nếu} \, x > 0}\end{array} \right.\)
a) Tìm tập xác định của hàm số trên.
b) Tính giá trị của hàm số khi \(x = - 1;x = 2022\)
a) Tìm tập xác định của hàm số trên.
\(f\left( x \right)\) có nghĩa khi x0.
=> Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
b) Tính giá trị của hàm số khi \(x = - 1;x = 2022\)
Với \(x = - 1\), suy ta \(x < 0\)\( \Rightarrow y = - x = - \left( { - 1} \right) = 1\).
Với \(x = 2022\), suy ra \(x > 0\)\( \Rightarrow y = x = 2022\).
Xác định các tập hợp \(A \cap B\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(A = \{ x \in \mathbb{R}|{x^2} - 2 = 0\} ,\)\(B = \{ x \in \mathbb{R}|2x - 1 < 0\} \)
b) \(A = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},y = 2x - 1\} ,\)\(B = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},y = - x + 5\} \)
c) A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật.
a) Phương trình \({x^2} - 2 = 0\) có hai nghiệm là \(\sqrt 2 \) và \( - \sqrt 2 \), nên \(A = \{ \sqrt 2 ; - \sqrt 2 \} \)
Tập hợp \(B = \{ x \in \mathbb{R}|2x - 1 < 0\} \) là tập hợp các số thực \(x < \frac{1}{2}\)
Từ đó \(A \cap B = \{ - \sqrt 2 \} .\)
b) \(A \cap B = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},y = 2x - 1,y = - x + 5\} \)
Tức là \(A \cap B\)là tập hợp các cặp số (x; y) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\y = - x + 5\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = - x + 5\\y = 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 6\\y = 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy \(A \cap B = \{ (2;3)\} .\)
c) A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật.
\(A \cap B\) là tập hợp các hình vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.
Một tứ giác bất kì thuộc \(A \cap B\) thì nó là hình chữ nhật và có 2 cạnh kề bằng nhau (hình vuông)
Do đó \(A \cap B\) là tập hợp các hình vuông.
Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:
a) \(A = {\rm{\{ x}} \in \mathbb{Z}\,{\rm{|}}\,{\rm{ - 2}} \le {\rm{x}}\,{\rm{ < }}\,{\rm{4\} ;}}\)
b) \(B = {\rm{\{ x}} \in \mathbb{Z}\,{\rm{|}}\,{\rm{ - 2}}\,{\rm{ < }}\,{\rm{x}}\, \le {\rm{4\} }}\).
a) A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3}
b) B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4}
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 2x}}{x}}&{khi\,\,x \ne 0}\\a&{khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 2} \right) = 0 - 2 = - 2\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 0\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a = - 2\).
Vậy với \(a = - 2\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{khi\,\,x \ne - 2}\\a&{khi\,\,x = - 2}\end{array}} \right.\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 2 - 2 = - 4\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow a = - 4\).
Vậy với \(a = - 4\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }}\) là:
A. \(D = \left[ {2; + \infty } \right).\)
B. \(D = \left( {2; + \infty } \right).\)
C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
D. \(D = \mathbb{R}.\)
Để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }}\) xác định \( \Leftrightarrow \,\,x - 2 > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,x > 2.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( {2; + \infty } \right).\)
Chọn B.
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-3 y+2 \sqrt{x y}=4(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \\ (x+1)\left(y+\sqrt{x y}-x^{2}+x\right)=4\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 2{{\rm{x}}^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 4{\rm{x}} - \frac{1}{3}\);
b) \(y = \frac{{ - 2{\rm{x}} + 3}}{{{\rm{x}} - 4}}\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 3}}{{{\rm{x}} - 1}}\); d) \(y = \sqrt {5{\rm{x}}} \).
a) \(y' = 2.3{{\rm{x}}^2} - \frac{1}{2}.2{\rm{x}} + 4.1 - 0 = 6{{\rm{x}}^2} - x + 4\).
b) \(y' = \frac{{{{\left( { - 2{\rm{x}} + 3} \right)}^\prime }.\left( {{\rm{x}} - 4} \right) - \left( { - 2{\rm{x}} + 3} \right).{{\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{ - 2\left( {{\rm{x}} - 4} \right) - \left( { - 2{\rm{x}} + 3} \right).1}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{ - 2{\rm{x}} + 8 + 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}}\)
c) \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right)}^\prime }\left( {{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right){{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 2} \right)\left( {{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right).1}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\) \( = \frac{{2{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 2{\rm{x}} + 2 - {x^2} + 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 1}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\)
d) \(y' = {\left( {\sqrt 5 .\sqrt x } \right)^\prime } = \sqrt 5 .\frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{2\sqrt x }} = \frac{5}{{2\sqrt {5x} }}\).