Tham khảo:

\(\begin{array}{l}(OM,ON) = (OA,ON) - (OA,OM) = \frac{{2\pi }}{3}\\ \Rightarrow \widehat {MON} = {120^0}\\\widehat {MOP} = \widehat {MOA} + \widehat {AOP} = {90^0} + {30^0} = {120^0}\\ \Rightarrow \widehat {NOP} = {360^0} - {120^0} - {120^0} = {120^0}\end{array}\)

Cung MP = cung NP = cung NM

\(\Rightarrow MP = NP = NM\)

\(\Rightarrow \Delta MNP\) đều

\(\sin x = \frac{{OK}}{{OM}}\)

\(\cos x = \frac{{OH}}{{OM}}\)

a)    

b)     \(\cos 60^\circ \) bằng hoành độ của điểm M

\(\sin 60^\circ \) bằng tung độ của điểm M

Tham khảo:

M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \).

Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\). Khi đó \(\cos \alpha  = {x_0};\;\;\sin \alpha  = {y_o}\)

Trường hợp 1:  \(\alpha  = {90^o}\)

Khi đó \(\alpha  = {180^o} - \alpha  = {90^o}\)

Tức là M và M’ lần lượt trùng nhau và trùng với B.

Và  \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha  =  - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = 0;\\\sin \alpha  = \sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin {90^o} = 1.\\\cot \alpha  = 0\end{array} \right.\)

Không tồn tại \(\tan \alpha \) với \(\alpha  = {90^o}\)

Trường hợp 2: \(\alpha  < {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha  > {90^o}\)

M nằm bên phải trục tung

M’ nằm bên trái trục tung

Dễ thấy: \(\widehat {M'OC} = {180^o} - \widehat {xOM'} = {180^o} - \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \alpha  = \widehat {xOM}\)

\( \Rightarrow \widehat {M'OB} = {90^o} - \widehat {M'OC} = {90^o} - \widehat {MOA} = \widehat {MOB}\)

Xét tam giác \(M'OB\) và tam giác \(MOB\)  ta có:

\(OM = OM'\)

\(\widehat {M'OB} = \widehat {MOB}\)

OB chung

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MOB = \Delta M'OB\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = OM'\\BM = BM'\end{array} \right.\end{array}\)

Hay OB là trung trực của đoạn thẳng MM’.

Nói cách khác M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.

Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(M'\left( { - {x_0};{y_o}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - {x_0} =  - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)

Trường hợp 3: \(\alpha  > {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha  < {90^o}\)

Khi đó M nằm bên trái trục tung và M’ nằm bên phải trục tung.

Tương tự ta cũng chứng minh được M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.

Như vậy

\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - {x_0} =  - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)

Kết luận: Với mọi \({0^o} < \alpha  < {180^o}\), ta luôn có

\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha .\\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \;\;\;(\alpha  \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array}\)

a)    Do \(\begin{array}{l}\sin \alpha  = MH \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = M{H^2}\\\cos \alpha  = OH \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = O{H^2}\end{array}\)

Áp dụng định lý Py – Ta – Go vào tam giác OMH vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}M{H^2} + O{H^2} = O{M^2} = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\end{array}\)

b)    Chia cả hai vế cho \({\cos ^2}\alpha \), ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array}\)

c)    Chia cả hai vế cho \({\sin ^2}\alpha \), ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha  + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\end{array}\)

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel PQ\parallel BC\)

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình thang (1).

\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {SAB} \right) = MQ\\\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SA\end{array} \right\} \Rightarrow MQ\parallel SA \Rightarrow \frac{{MQ}}{{SA}} = \frac{{BM}}{{AB}}\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = NP\\\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = SD\end{array} \right\} \Rightarrow NP\parallel SD \Rightarrow \frac{{NP}}{{SD}} = \frac{{CN}}{{C{\rm{D}}}}\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = MN\\\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = AD\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel AD\parallel BC \Rightarrow \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{C{\rm{D}}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{MQ}}{{SA}} = \frac{{NP}}{{S{\rm{D}}}}\)

Mà tam giác \(SAD\) đều nên \(SA = S{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow MQ = NP\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MNPQ\) là hình thang cân.

b) Gọi \(I = MQ \cap NP\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right) = SI\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow SI\parallel AB\parallel C{\rm{D}}\)

\(SI\parallel N{\rm{D}},S{\rm{D}}\parallel NI \Rightarrow SIN{\rm{D}}\) là hình bình hành \( \Rightarrow S{\rm{D}} = NI\)

\(SI\parallel MA,S{\rm{A}}\parallel MI \Rightarrow SIMA\) là hình bình hành \( \Rightarrow S{\rm{A}} = MI\)

Xét tam giác \(IMN\) và tam giác \(SAD\) có: \(MN\parallel A{\rm{D,}}MI\parallel SA,NI\parallel S{\rm{D}},MN = A{\rm{D}}\)

 tam giác \(IMN\) là tam giác đều cạnh \(a\).

\(\begin{array}{l}SI\parallel AB \Rightarrow \frac{{SI}}{{BM}} = \frac{{IQ}}{{QM}} \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{BM + SI}} = \frac{{IQ}}{{QM + IQ}} \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{BM + MA}} = \frac{{IQ}}{{QM + IQ}}\\ \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{AB}} = \frac{{IQ}}{{MI}} \Leftrightarrow IQ = \frac{{SI.MI}}{{AB}} = \frac{{x.a}}{a} = x\end{array}\)

\({S_{IMN}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},{S_{IPQ}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = {S_{IMN}} - {S_{IPQ}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} - \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\)