Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=AH^2\)

=>HB*HC=4^2=16

mà HB+HC=10cm

nên HB,HC là hai nghiệm của phương trình:

\(x^2-10x+16=0\)

=>(x-8)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=8\\x=2\end{matrix}\right.\)

Do đó, chúng ta sẽ có 2 trường hợp là \(\left[{}\begin{matrix}BH=8cm;CH=2cm\\BH=2cm;CH=8cm\end{matrix}\right.\)

a, xét tam giác ABC ta có 

AH là đường cao=> góc AHB=90 độ

lại có \(AD\perp BE\)=> góc ADB=90 độ

=>góc AHB= góc ADB=90 độ

mà D,H là 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác ADHB

=> tứ giác ADHB nội tiếp đường tròn đường kính AB

lấy điểm O là trung điểm AB=>O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHB

b, xét tam giác ABC có BE là phân giác=> góc HBD= góc ABD

lại có tam giác ABC vuông tại A=> góc ABE+ góc AEB=90 độ

hay góc ABD+ góc AED =90 độ(1)

xét tam giác ADE vuông tại E (vì AD\(\perp BE\))

=> góc EAD+góc AED=90 độ(2)

từ(1)(2)=> góc ABD= góc EAD

=>góc EAD= góc HBD(= góc ABD)

c, xét đường tròn(O) => OA=OH=OB=1/2.AB=\(\dfrac{a}{2}\)=R

có OH=OB=>tam giác BOH cân tại O 

lại có góc ABC=60 độ hay góc OBH=60 độ=> tam giác OBH đều

=> góc OBH=góc BOH=60 độ=>góc AOH=120 độ( kề bù)

=>góc AOH=số đo cung AOH=120 độ( góc ở tâm)

=> S quạt AOH=\(\dfrac{\pi.R^2.n}{360}=\dfrac{\pi.\left(\dfrac{a}{2}\right)^2.120}{360}=\dfrac{\pi.a^2.30}{360}=\dfrac{\pi.a^2}{12}\)