Đề đúng là SC vuông góc (ABCD) phải không nhỉ?

Gọi O là giao điểm AC và BD \(\Rightarrow\) O đồng thời là trung điểm AC và BD

Gọi E và F lần lượt là trung điểm SA và AD, từ O kẻ \(OH\perp EF\) (1)

OE là đường trung bình tam giác SAC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OE=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{3a}{2}\\OE||SC\Rightarrow OE\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OE\perp AD\)

OF là đường trung bình tam giác ACD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OF||CD\Rightarrow OF\perp AD\\OF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{a}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AD\perp\left(OEF\right)\) \(\Rightarrow AD\perp OH\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow OH\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow HD\) là hình chiếu vuông góc của OD lên (SAD)

\(\Rightarrow\widehat{HDO}\) là góc giữa BD và (SAD)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OE^2}+\dfrac{1}{OF^2}\Rightarrow OH=\dfrac{OE.OF}{\sqrt{OE^2+OF^2}}=\dfrac{3a\sqrt{10}}{20}\)

\(OD=\dfrac{1}{2}BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{HDO}=\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}\Rightarrow\widehat{HDO}\approx25^06'\)

Lời giải:

Xét tam giác ADH và AOH có:

\(\widehat{DAH}=\widehat{OAH}\) (gt)

\(\widehat{AHD}=\widehat{AHO}=90^0\)

AH chung

\(\Rightarrow \triangle ADH=\triangle AOH(g.c.g)\) (1)

\(\Rightarrow AD=AO\Rightarrow \frac{AD}{AO}=1\)

Xét tam giác ADH và AOK có: 

\(\widehat{AHD}=\widehat{AKO}=90^0\)

\(\widehat{DAH}=\widehat{OAB}=\widehat{OAK}\) (gt)

\(\Rightarrow \triangle ADH\sim \triangle AOK(g.g)\Rightarrow \frac{AH}{AK}=\frac{DH}{OK}=\frac{AD}{AO}=1\Rightarrow AH=AK;DH=OK\) 

Vì AO là phân giác của \(\widehat{HAB}\) nên theo tính chất đường phân giác thì:

\(\frac{AH}{AB}=\frac{OH}{OB}\)

Trong đó \(OH=DH\) (do (1)) nên \(OH=\frac{1}{2}OD\). Mà \(OD=OB\) theo tính chất hình bình hành

\(\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{OH}{OB}=\frac{1}{2}\)

Mà \(AH=AK\Rightarrow AK=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AK=KB\) 

Tam giác AOB có OK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác AOB cân tại O. Do đó OA=OB hay AC=BD nên ABCD là hình chữ nhật (đpcm).

Hình vẽ:

\(S_{ABCD}=AB.AD=4a.3a=12a^2\)

SA=4a

Thể tích khối  chóp là :

\(V=\dfrac{1}{3}.S_{ABCD}.SA=\dfrac{1}{3}.12a.4a=16a^3\)

Lời giải:

b. Ta thấy: $5^2+12^2=13^2$ hay $AB^2+AC^2=BC^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Tứ giác $ACEB$ có 2 đường chéo $BC,AE$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà $\widehat{A}=90^0$ nên $ACEB$ là hình chữ nhật.

a. 

$ACEB$ là hcn nên $AE=BC=13$ (cm)

$\Rightarrow AD=AE:2=13:2=6,5$ (cm) 

c.

Để $ABEC$ là hình vuông thì $AB=AC$. Khi đó $ABC$ phải là tam giác vuông cân tại A chứ không liên quan gì đến điểm D hết bạn nhé.                     

Hình vẽ: