Tham khảo:

a) Ta có các điểm D, E đều nằm trong mp(SAB) nên đường thẳng DE nằm trong mp (SAB).

b) F thuộc AB suy ra F nằm trong mp (SAB).

F thuộc DE suy ra F nằm trong mp(CDE).

Do đó, F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE).

a) E ∈ AB mà AB ⊂ (ABC)

⇒ E ∈ (ABC)

F ∈ AC mà AC ⊂ (ABC)

⇒ F ∈ (ABC)

Đường thẳng EF có hai điểm E, F cùng thuộc mp(ABC) nên theo tính chất 3 thì EF ⊂ (ABC).

b) I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD) (1)

I ∈ EF mà EF ⊂ (DEF) nên I ∈ (DEF) (2)

Từ (1) và (2) suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).

Tham khảo:

a) 

- Giao điểm của mp(E,d) với cạnh SB

P thuộc AB suy ra P cũng thuộc mp(SAB)

Trên mp(SAB), gọi giao điểm của EP và SB là I

P thuộc đường thẳng d suy ra P cũng nằm trên mp(E,d)

E, P đều nằm trên mp(D,d) suy ra EP nằm trên mp(E,d) suy ra I cũng nằm trên mp(E,d)

Vậy I là giao điểm của mp(E,d) và SB

- Giao điểm của mp(E,d) với cạnh SD.

Q thuộc AD suy ra Q nằm trên mp(SAD)

Gọi giao điểm của EQ và SD là F

Q thuộc đường thẳng d suy ra Q cũng nằm trên mp(E,d)

E, Q đều nằm trên mp(E,d) suy ra EQ nằm trên mp(E,d) , suy ra F cũng nằm trên mp(E,d)

Vậy F là giao điểm của mp(E,d) và SD.

b) Ta có EI cùng thuộc mp(SAB) và mp(E,d) suy ra EI là tuyến điểm của hai mặt phẳng.

EF cùng thuộc mp(SAD) và mp(E,d) suy ra EF  là giao tuyến của hai mặt phẳng

\(IM \subset mp\left( {SBC} \right),IM \subset mp\left( {E,d} \right)\) suy ra IM là giao tuyến của hai mp(SBC) và mp(E,d).

\(FN \subset mp\left( {SCD} \right),FN \subset mp\left( {E,d} \right)\) suy ra FN là giao tuyến của mp(SCD) và mp(E,d).

a) Ta thấy:

+ G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G ∈ BD ⇒ G ∈ BD

+ I ∈ DN (theo cách dựng hình).

+ J ∈ BP (theo cách dựng hình).

⇒ S, I, J, G ∈ mp(SPN)

Tương tự ⇒ S, I, J, G ∈ mp(SQM)

Vậy S, I, J, G là điểm chung của mp(SPN) và mp(SQM)

b)

Ta thấy:

+ S = PD ∩ EM

+ K ∈ DM

+ L ∈ PE

⇒ S, K, L ∈ (SPM)

Tương tự ⇒ S, K, L ∈ (SQN)

Vậy S, K, L là điểm chung của (SPM) và (SQN)

a) E, F ∈ (ABC) => EF ⊂ (ABC)

b) I ∈ EF => I ∈ ( DEF)

a) E, F ∈ (ABC) => EF ⊂ (ABC)

b) I ∈ EF => I ∈ ( DEF)

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).