Bạn Minh cho rằng “Tổng của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Bạn Quân cho rằng “Hiệu của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Hai bạn Minh và Quân nói như vậy có đúng không? Giải thích vì sao.
Viết đa thức trong mỗi trường hợp sau:
a) Đa thức bậc nhất có hệ số của biến bằng – 2 và hệ số tự do bằng 6;
b) Đa thức bậc hai có hệ số tự do bằng 4;
c) Đa thức bậc bốn có hệ số của lũy thừa bậc 3 của biến bằng 0;
d) Đa thức bậc sáu trong đó tất cả hệ số của lũy thừa bậc lẻ của biến đều bằng 0.
a) Đa thức bậc nhất có hệ số của biến bằng – 2 và hệ số tự do bằng 6 tức \(a = - 2;b = 6\)
\( - 2x + 6\).
b) Đa thức bậc hai có hệ số tự do bằng 4: \({x^2} + x + 4\).
c) Đa thức bậc bốn có hệ số của lũy thừa bậc 3 của biến bằng 0: \({x^4} + 0.{x^3} + {x^2} + 1 = {x^4} + {x^2} + 1\).
d) Đa thức bậc sáu trong đó tất cả hệ số của lũy thừa bậc lẻ của biến đều bằng 0: \({x^6} + 0.{x^5} + {x^4} + 0.{x^3} + {x^2} + 0.x = {x^6} + {x^4} + {x^2}\).
Cho đa thức \(P(x) = {x^3} - 4{x^2} + 8x - 2\). Hãy viết P(x) thành tổng của hai đa thức bậc bốn.
\(\begin{array}{l}P(x) = {x^3} - 4{x^2} + 8x - 2\\ = {x^3} - 4{x^2} + 8x - 2 + {x^4} - {x^4}\\ = {x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 8x - 2 - {x^4}\\ = ({x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 8x - 2) + ( - {x^4})\end{array}\)
Ai đúng? Ai sai?
Bạn Đức đố: "Bậc của đa thức M = x6 – y5 + x4y4 + 1 bằng bao nhiêu?"
Bạn Thọ nói: "Đa thức M có bậc là 6".
Bạn Hương nói: "Đa thức M có bậc là 5".
Bạn Sơn nhận xét: “ Cả hai bạn đều sai”
Theo em, ai đúng? Ai sai? Vì sao ?
Đa thức M có 3 hạng tử và bậc của chúng lần lượt là:
x6 có bậc 6
– y5 có bậc 5
x4y4 có bậc 4+4 = 8
Bậc 8 là bậc cao nhất
⇒ Đa thức M là đa thức bậc 8
Như vậy :
- Bạn Thọ và Hương nói sai.
- Nhận xét của bạn Sơn là đúng
- Câu trả lời đúng : Đa thức M có bậc là 8.
Hai bạn tròn và vuông đang tranh luận như sau:
Vuông nói: Đa thức \(M\left(x\right)=x^3+1\) có thể viết được thành hai tổng của đa thức bậc hai.
Tròn nói: không thể như thế được. Nhưng \(M\left(x\right)\) có thể viết được thành tổng của hai đa thức bậc bốn.
Hãy cho biết ý kiến của em và nêu một ví dụ minh họa.
Theo tôi, bạn Tròn đúng còn bạn Vuông sai.
Giải thích:
\(x^3+1=x^4-x^4+x^3+1=\left(x^4+1\right)+\left(-x^4+x^3\right)\)
Chứng minh rằng số nghiệm của 1 đa thức (khác 0) luôn nhỏ hơn hoặc bằng bậc của đa thức đó.
Phân tích đa thức P= (x^2+3x+1)^2 -1 thành tích của bốn đa thức. Từ đó hãy chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là một số chính phương
Có: \(\left(x^2+3x+1\right)^2-1=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right).\)
Ngược lại:
\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1=\left(x^2+3x+1\right)^2-1+1=\left(x^2+3x+1\right)^2\)là scp
Chứng minh rằng một đa thức bậc hai : P( x ) = ax^2 + bx +c với a khác 0 luôn ko có quá 2 nghiệm phân biệt
Giả sử P( x ) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt : x1 ; x2 ; x3
\( \implies\) P( x1 ) = 0 \(\iff\) ax12 + bx1 + c = 0 ( 1 )
P( x2 ) = 0 \(\iff\) ax22 + bx2 + c = 0 ( 2 )
P( x3 ) = 0 \(\iff\) ax32 + bx3 + c = 0 ( 3 )
+)Lấy ( 1 ) - ( 2 ) vế với vế ta được : ( ax12 + bx1 + c ) - ( ax22 + bx2 + c ) = 0
\( \implies\) ax12 + bx1 - ax22 - bx2 = 0
\( \implies\) ( ax12 - ax22 ) + ( bx1 - bx2 ) = 0
\( \implies\) a( x12 - x22 ) + b( x1 - x2 ) = 0
\( \implies\) a( x1 - x2 )( x1 + x2 ) + b(x1 - x2 ) = 0
\( \implies\) ( x1 - x2 ) [ a( x1 + x2 ) + b ] = 0
Mà x1 - x2 khác 0 \( \implies\) a( x1 + x2 ) + b = 0 ( 4 )
+)Lấy ( 1 ) - ( 3 ) vế với vế ta được : ( ax12 + bx1 + c ) - ( ax32 + bx3 + c ) = 0
\( \implies\) ax12 + bx1 - ax32 - bx3 = 0
\( \implies\) ( ax12 - ax32 ) + ( bx1 - bx3 ) = 0
\( \implies\) a( x12 - x32 ) + b( x1 - x3 ) = 0
\( \implies\) a( x1 - x3 )( x1 + x3 ) + b(x1 - x3 ) = 0
\( \implies\) ( x1 - x3 ) [ a( x1 + x3 ) + b ] = 0
Mà x1 - x3 khác 0 \( \implies\) a( x1 + x3 ) + b = 0 ( 5 )
+)Lấy ( 4 ) - ( 5 ) vế với vế ta được : [ a( x1 + x2 ) + b ] - [ a( x1 + x3 ) + b ] = 0
\( \implies\) a( x1 + x2 ) + b - a( x1 + x3 ) - b = 0
\( \implies\) a( x1 + x2 ) - a( x1 + x3 ) = 0
\( \implies\) a( x1 + x2 - x1 - x3 ) = 0
\( \implies\) a ( x2 - x3 ) = 0
Mà x2 - x3 khác 0 \( \implies\) a = 0 ( vô lý )
Vậy P( x ) luôn không có quá 2 nghiệm phân biệt
Viết đa thức P(x) = 5x3 - 4x2 + 7x - 2 dưới dạng:
Hiệu của hai đa thức một biến.
Bạn Vinh nêu nhận xét: "Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4". Đúng hay sai? Vì sao?
Viết đa thức P(x) = 5x3 – 4x2 +7x – 2 dưới dạng hiệu của hai đa thức một biến.
Có nhiều cách viết, ví dụ:
Cách 1: Nhóm các hạng tử của đa thức P(x) thành 2 đa thức khác
P(x) = 5x3 – 4x2 +7x – 2 = (5x3 + 7x) - (4x2 + 2)
⇒ P(x) là hiệu của hai đa thức một biến là: 5x3 + 7x và 4x2 + 2
P(x) = 5x3 – 4x2 +7x – 2 = (5x3 – 4x2) – (-7x + 2)
⇒ P(x) là hiệu của hai đa thức một biến là: 5x3 – 4x2 và -7x + 2
Cách 2: Viết các hạng tử của đa thức P(x) thành tổng hay hiệu của hai đơn thức. Sau đó nhóm thành 2 đa thức khác
Ví dụ: Viết 5x3 = 6x3 - x3; – 4x2 = – 3x2 - x2
Nên: P(x) = 5x3 – 4x2 +7x – 2 = 6x3 - x3 – 3x2 - x2 +7x – 2 = (6x3 – 3x2 + 7x) - (x3 + x2 + 2)
⇒ P(x) là hiệu của hai đa thức một biến là: 6x3 – 3x2 + 7x và x3 + x2 + 2
Ai đúng ? Ai sai ?
Bạn Đức đố : " Bậc của đa thức \(M=x^6-y^5+x^4y^4+1\) bằng bao nhiêu ?"
Bạn Thọ nói : "Đa thức M có bậc là 6"
Bạn Hương nói : "Đa thức M có bậc là 5"
Bạn Sơn nhận xét : "Cả hai bạn đều sai"
Theo em, ai đúng ? ai sai ? vì sao ?
Đa thức M là đa thức bậc 6 đối với biến x, bậc 5 đối với biến y và bậc 8 (= 4 + 4) đối với tập hợp biến. Như vậy.
- Bạn Thọ và Hương nói sai.
- Nhận xét của bạn Sơn là đúng
- Câu trả lời đúng: Đa thức M có bậc là 8.