Kéo dài AD và BC cắt nhau tại E

Trong mp (SBC), nối BM kéo dài cắt SE tại F

Trong mp (SAD), nối AF cắt SD tại P

\(\Rightarrow ABMP\) là thiết diện của (ABM) và chóp

Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.

Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Đáp án B

Trong mp (ABCD), nối MN kéo dài lần lượt cắt AD tại F và DC tại G

Trong mp (SAD), nối FE cắt SA tại P

Trong mp (SCD), nối EG cắt SC tại Q

\(\Rightarrow\) Ngũ giác MNQEP là thiết diện của (MNE) và chóp

Gọi (P) là mặt phẳng qua M, song song DE và SC

Gọi O là giao điểm AC, BD \(\Rightarrow\) O là trung điểm AC

\(\Rightarrow\) OM là đường trung bình tam giác SAC

\(\Rightarrow OM||SC\Rightarrow O\in\left(P\right)\)

Trong mp (SBD), gọi F là trung điểm BE \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác BDE

\(\Rightarrow OF||DE\Rightarrow F\in\left(P\right)\)

Trong mp (SBC), qua F kẻ đường thẳng song song SC cắt BC tại G

\(\Rightarrow G\in\left(P\right)\)

Trong mp (ABCD), nối GO kéo dài cắt AD tại H

\(\Rightarrow H\in\left(P\right)\)

\(\Rightarrow\) Thiết diện của (P) và chóp là tứ giác MFGH (và tứ giác này không có điều gì đặc biệt)

+ Chọn mp (SAC) chứa PN .

Ta có: - (SAC) giao ( BID) = I .

                   * I ∈ SC ⊂ (SAC). 

                   * I ∈ ( BID).

Trong mp ( ABCD) có : AC cắt BD tại O .

=> Giao tuyến là OI.

Cho OI cắt PN tại đâu thì đấy là giao điểm.

a) Giao điểm M của CD và mp(C’AE).

Trong mp(ABCD), d cắt CD tại M, ta có:

+ M ∈ CD

+ M ∈ d ⊂ (C’AE) ⇒ M ∈ (C’AE)

Vậy M là giao điểm của CD và mp(C’AE).

b) + Trong mặt phẳng (SCD), gọi giao điểm của MC’ và SD là N.

N ∈ MC’ ⊂ (C’AE) ⇒ N ∈ (C’AE).

N ∈ SD ⊂ (SCD) ⇒ N ∈ (SCD)

⇒ N ∈ (C’AE) ∩ (SCD).

⇒ (C’AE) ∩ (SCD) = C’N.

+ (C’AE) ∩ (SCB) = C’E.

+ (C’AE) ∩ (SAD) = AN.

+ (C’AE) ∩ (ABCD) = AE

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE) là tứ giác C’NAE

Lời giải:

Gọi $Q$ là điểm nằm trên $DC$ sao cho $AD\parallel PQ$

Khi đó: $MN\parallel AD\parallel PQ$ nên $Q\in (MNP)$

$(MNPQ)$ chính là thiết diện của hình chóp cắt bởi $(MNP)$
Giờ ta cần tìm diện tích hình thang $MNPQ$

$SA=SD; DB=SC; AB=CD$ nên $\triangle SAB=\triangle SDC$

Tương ứng ta có $MP=NQ$

$MN=\frac{AD}{2}=\frac{3a}{2}$

$PQ=AD=3a$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình thang cân.

Áp dụng định lý cos:

$\cos \widehat{SAB}=\frac{SA^2+AB^2-SB^2}{2SA.AB}=\frac{MA^2+AP^2-MP^2}{2MA.AP}$

$\Leftrightarrow \frac{9a^2+9a^2-27a^2}{2.3a.3a}=\frac{\frac{9}{4}a^2+4a^2-MP^2}{2.\frac{3}{2}a.2a}$

$\Rightarrow MP^2=\frac{37}{4}a^2$

$\Rightarrow h_{MNPQ}=\sqrt{MP^2-(\frac{PQ-MN}{2})^2}=\frac{\sqrt{139}}{4}a$

Diện tích thiết diện:

$S=\frac{MN+PQ}{2}.h=\frac{9\sqrt{139}}{16}a^2$