\(P=\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}\right)\left[4\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\ge\left[\sqrt{\dfrac{4}{a^2+b^2}.4\left(a^2+b^2\right)}+\sqrt{\dfrac{3}{ab}.12ab}\right]^2=100\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{100}{4\left(a^2+b^2\right)+12ab}=\dfrac{100}{4\left(a+b\right)^2+4ab}=\dfrac{25}{\left(a+b\right)^2+ab}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{4^2+ab}=\dfrac{25}{16+ab}\) (vì \(a+b\le4\)).

Mặt khác ta có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\dfrac{4^2}{4}=4\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{16+4}=\dfrac{5}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\).

Vậy \(MinP=\dfrac{5}{4}\), đạt tại \(a=b=2\)

a^2 hay a.2 thế

a^2 bn ạ!!
 

`a, (3+2a^2)/a = 3/a+2a.`

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

`3/a + 2a>=2.sqrt(3/a.2a) = 2sqrt6`.

Đẳng thức xảy ra `<=> 3=2a^2`

`<=> a^2=3/2`.

`<=> a=sqrt(3/2)`.

Áp dụng BĐT :

\(\dfrac{a^{^2}}{x}+\dfrac{b^{^2}}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(x+y\right)}\) (Bạn tự chứng minh nhé)

\(F=\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+1+b+1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}\)

\(\Rightarrow F=\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}\ge\dfrac{2^2}{2+2}=1\)

Vậy \(Min\left(F\right)=1\)

áp dụng BDT AM-GM

\(=>a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)

\(=>1\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=>1\ge27\left(abc\right)^2\)\(=>27\left(abc\right)^2\le1=>3\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{9}=>\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{27}=>abc\le\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\)

\(=>\dfrac{8}{9abc}\ge\dfrac{8}{9.\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)

\(S=a+b+c+\dfrac{1}{abc}=a+b+c+\dfrac{1}{9abc}+\dfrac{8}{9abc}\)

\(=>a+b+c+\dfrac{1}{9abc}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)

\(=>S\ge\dfrac{4}{\sqrt{3}}+\dfrac{8}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)

dấu"=" xyar ra<=>a=b=c=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Các bn mà cop thì nhớ giải thích giúp mik đoạn \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{abc}\) với

1) \(A=\frac{a}{16}+\frac{1}{a}+\frac{15a}{16}\ge2\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}+\frac{15.4}{16}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = 4 

Vậy min A = 17/4 tại a = 4

2) \(B=3x+\frac{16}{x^3}=x+x+x+\frac{16}{x^3}\ge4\sqrt[4]{x.x.x.\frac{16}{x^3}}=8\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 2

Vậy min B = 8 tại x = 2

3) 0<x<2 tìm min \(C=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}\)

Ta có: \(C=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\ge2\sqrt{\frac{9x}{2-x}.\frac{2-x}{x}}+1=7\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 1/2  thỏa mãn

Vậy min C = 7 đạt tại x = 1/2

https://olm.vn/hoi-dap/detail/258469425824.html . Bạn tham khảo link này

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm ta có : 

\(A=\frac{a}{16}+\frac{1}{a}+\frac{15a}{16}\ge2\sqrt[2]{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}+\frac{60}{16}=\frac{17}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=4\)

Vậy \(Min_A=\frac{17}{4}\)khi \(a=4\)

Ta có : \(B=\frac{3x^4}{x^3}+\frac{16}{x^3}=3x+\frac{16}{x^3}=x+x+x+\frac{16}{x^3}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 4 số không âm ta có : 

\(x+x+x+\frac{16}{x^3}\ge4\sqrt[4]{x.x.x.\frac{16}{x^3}}=4\sqrt[4]{16}=8\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=2\)

Vậy \(Min_B=8\)khi \(x=2\)