Cho \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\).
a) Gọi D và Q lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh \(\Delta ABD \backsim \Delta MNQ\).
b) Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP. Chứng minh \(\Delta ABG \backsim \Delta MNK\).
Cho \(\Delta ABC = \Delta MNP\). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA; Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM. Chứng minh:
a) AD = MQ;
b) DE = QR.
a) Xét hai tam giác ABD và tam giác MNQ:
AB = MQ (do \(\Delta ABC = \Delta MNP\)).
\(\widehat {ABD} = \widehat {MNQ}\) (\(\widehat {ABD} = \widehat {MNQ}\)).
BD = NQ (\(\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}NP\))
BC = NP (do \(\Delta ABC = \Delta MNP\)).
Vậy \(\Delta ABD = \Delta MNQ\)(c.g.c) nên AD = MQ ( 2 cạnh tương ứng)
b) Vì \(\Delta ABC = \Delta MNP\) nên BC = NP ( 2 cạnh tương ứng) . Do đó, \(\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}NP\) hay DC = QP
Vì \(\Delta ABC = \Delta MNP\) nên AC = MP ( 2 cạnh tương ứng) . Do đó, \(\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}MP\) hay EC = RP
Xét hai tam giác DEC và tam giác QRP:
DC = QP
\(\widehat {ECD} = \widehat {RPQ}\)(\(\Delta ABC = \Delta MNP\))
EC = RP
Vậy \(\Delta DEC = \Delta QRP\)(c.g.c) nên DE = QR ( 2 cạnh tương ứng)
Từ điểm M ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB cát tuyến MNP (MN<MP). Gọi K là trung điểm NP, OM cắt AB tại H. Chứng minh
a) KM phân giác góc AKB
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm AB với KO và AB với NP. Chứng minh $\Delta OHE~\Delta FHM$ và $AB^2=4HE\cdot HF$
c) Khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm G của $\Delta NAP$ chạy trên đường nào
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có hai đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\).
b) Phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(MN\) và \(BC\) lần lượt tại \(I\) và \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).
a) Vì \(BM\)là đường cao nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \); vì \(CN\)là đường cao nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ \)
Xét tam giác \(AMB\) và tam giác \(ANC\) có:
\(\widehat A\) (chung)
\(\widehat {ANB} = \widehat {ANC} = 90^\circ \) (chứng minh trên)
Suy ra, \(\Delta AMB\backsim\Delta ANC\) (g.g).
Suy ra, \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).
Do đó, \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (tỉ lệ thức)
Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(ABC\) có:
\(\widehat A\) (chung)
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (chứng minh trên)
Suy ra, \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\) (c.g.c).
b) Xét tam giác \(AMN\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\widehat {MAN}\left( {I \in MN} \right)\).
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\)
Xét tam giác \(ABC\) có \(AK\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\left( {K \in BC} \right)\).
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Mà \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (chứng minh trên) nên \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\) (điều phải chứng minh).
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh \(\Delta A'B'C' \backsim\Delta ABC\).
Vì A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG nên A’B’, B’C’, A’C’ lần lượt là đường trung bình của các tam giác AGB, BGC, AGC.
Khi đó: \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)
Xét tam giác A’B’C’ và tam giác ABC có:
\(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(\Delta A'B'C' \backsim\Delta ABC\) (c-c-c)
a) Biết AF = 3,6; FC = 6,4. Tính DF và \(S_{ADC}\)
b) Chứng minh: \(\Delta AEF \backsim \Delta ACB\)
b
Δ ABD ⊥ tại D có DE là đường cao.
=> \(AD^2=AE.AB\) (hệ thức lượng) (1)
Δ ADC ⊥ tại C có DC là đường cao.
=> \(AD^2=AF.AC\) (hệ thức lượng) (2)
Từ (1), (2) suy ra: \(AE.AB=AF.AC\left(=AD^2\right)\)
Xét Δ AEF và Δ ACB có:
\(\widehat{EAF}=\widehat{CAB}\) (góc chung)
\(\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\left(cmt\right)\)
=> Δ AEF đồng dạng Δ ACB (c.g.c)
a
Theo hệ thức lượng có: \(DF^2=AF.FC=3,6.6,4=23,04\Rightarrow DF=\sqrt{23,04}=4,8\)
\(AC=AF+FC=3,6+6,4=10\)
\(S_{ADC}=\dfrac{1}{2}AC.DF=\dfrac{1}{2}.10.4,8=24\)
Cho \(\Delta ABC = \Delta MNP\). Tia phân giác của góc BAC và NMP lần lượt cắt các cạnh BC và NP tại D, Q. Chứng minh AD = MQ.
Ta có: \(\Delta ABC = \Delta MNP\) nên theo tính chất 2 tam giác bằng nhau, ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat M,\widehat B = \widehat N,\widehat C = \widehat P\\AB = MN,BC = NP,AC = NP.\end{array}\)
Mà AD và MQ lần lượt là phân giác của góc BAC và NMP nên \(\widehat {BAD} = \widehat {NMQ} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {NMP}\).
Xét hai tam giác ABD và MNQ có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {NMQ}\);
AB = MN;
\(\widehat B = \widehat N\).
Vậy \(\Delta ABD = \Delta MNQ\) (g.c.g) nên AD = MQ ( 2 cạnh tương ứng)
Cho tam giác ABC. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh \(\Delta AB'C' \backsim \Delta ABC\).
B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC nên B’C’ là đường trung bình của tam giác ABC
\( \Rightarrow B'C' // BC\)
\( \Rightarrow \Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\)
Cho \(\Delta ABC\) , trọng tâm G. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C qua tâm G. C/minh:
a, Tứ giác BPNC là hình bình hành
b, \(\Delta ABC=\Delta MNP\)
c, \(\Delta ABC\) và \(\Delta MNP\) có chung trọng tâm
Cho ΔABC \(\backsim\) ΔMNP, khẳng định nào sau đây không đúng?
a) ΔMNP \(\backsim\) ΔABC
b) ΔBCA \(\backsim\) ΔNPM
c) ΔCAB \(\backsim\) ΔPNM
d) ΔACB \(\backsim\) ΔMNP
Khẳng định d) là khẳng định không đúng
=> ΔACB \(\backsim\) ΔMPN