a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có

AB=AC

góc BAD chung

Do đó: ΔABD=ΔACE
Suy ra: AD=AE

b: \(BD=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

d: Xét ΔHBC có \(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)

nên ΔHBC cân tại H

=>HB=HC

hay H nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra A,H,M thẳng hàng

\(AM=\dfrac{1}{2}AC=10\left(cm\right)\)

Kẻ \(MD\perp AB\Rightarrow MD=8\left(cm\right)\)

Kẻ \(CH\perp AB\Rightarrow MD||CH\Rightarrow\) MD là đường trung bình tam giác ACH

\(\Rightarrow MD=\dfrac{1}{2}CH\Rightarrow CH=2MD=16\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ACH:

\(AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=12\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow H\) đồng thời là trung điểm AB

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại C

b.

Do tam giác ABC cân tại C \(\Rightarrow O\in CH\)

Kéo dài CH cắt đường tròn tại E (E khác C) \(\Rightarrow CE\) là đường kính

\(\Rightarrow\widehat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn hay tam giác CAE vuông tại A

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AC^2=CH.CE\Rightarrow CE=\dfrac{AC^2}{CH}=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{1}{2}CE=12,5\left(cm\right)\)

Có S_ABC= S_AMB  + S_AMC = 1/2. MH. AB + 1/2. MK. AC = 1/2.AB.(MH+MK)= số không đổi

mà AB không đổi ==> tổng MH + MK không đổi khi M di động trên BC

a) Ta thấy ^AMB chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB nên ^AMB = 90⁰

Khi đó tứ giác EHBM có ^EMB + ^EHB = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰ => Tứ giác EHBM nội tiếp (đpcm).

b) Tương tự câu a thì ^ACB = 90⁰ => \(\Delta\)ABC vuông tại C có đường cao CH

=> AC² = AH.AB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (đpcm).

Có ^ACE = ^ACH = ^ABC (Cùng phụ ^BCH) = ^AMC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét \(\Delta\)AEC và \(\Delta\)ACM: ^ACE = ^AMC (cmt), ^CAE = ^MAC (góc chung)

=> \(\Delta\)AEC ~ \(\Delta\)ACM (g.g) => \(\frac{AC}{AM}=\frac{CE}{MC}\)=> AC.MC = AM.CE (đpcm).

c) Gọi I là tâm ngoại tiếp của \(\Delta\)CEM. Trước hết ta chỉ ra điểm I thuộc đường thẳng BC.

Thật vậy: Vì (I) ngoại tiếp \(\Delta\)CEM nên \(\Delta\)EIC cân tại I

=> ^ICE = 90⁰ - ^EIC/2 = 90⁰ - ^EMC = 90⁰ - ^ABC = ^HCB = ^ECB

Do I,B nằm cùng phía so với CE nên hai tia CI,CB trùng nhau hay B,I,C thẳng hàng

Khi đó điểm I di chuyển trên đường thẳng BC. Gọi HP vuông góc BC tại P

Vì khoảng cách từ H đến I là IH nên HI < HP. Do C,B,H cố định nên HP không đổi

Vậy Max IH = HP = const.

Cách dựng điểm M thỏa mãn đề:

B1: Dựng HI vuông góc với BC tại I

B2: Vẽ đường tròn tâm I bán kính IC cắt (O) và CH lần lượt tại M₀ và E

Lúc này, I là tâm ngoại tiếp của tam giác CEM và M₀ là điểm M cần tìm.

Sửa: IH > HP và Min IH = PH = const. Mình nhầm dấu chút xíu :D 

a) Ta thấy ^AMB chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB nên ^AMB = 90⁰

Khi đó tứ giác EHBM có ^EMB + ^EHB = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰ => Tứ giác EHBM nội tiếp (đpcm).

b) Tương tự câu a thì ^ACB = 90⁰ => \(\Delta\)ABC vuông tại C có đường cao CH

=> AC² = AH.AB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (đpcm).

Có ^ACE = ^ACH = ^ABC (Cùng phụ ^BCH) = ^AMC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét \(\Delta\)AEC và \(\Delta\)ACM: ^ACE = ^AMC (cmt), ^CAE = ^MAC (góc chung)

=> \(\Delta\)AEC ~ \(\Delta\)ACM (g.g) => \(\frac{AC}{AM}=\frac{CE}{MC}\)=> AC.MC = AM.CE (đpcm).

c) Gọi I là tâm ngoại tiếp của \(\Delta\)CEM. Trước hết ta chỉ ra điểm I thuộc đường thẳng BC.

Thật vậy: Vì (I) ngoại tiếp \(\Delta\)CEM nên \(\Delta\)EIC cân tại I

=> ^ICE = 90⁰ - ^EIC/2 = 90⁰ - ^EMC = 90⁰ - ^ABC = ^HCB = ^ECB

Do I,B nằm cùng phía so với CE nên hai tia CI,CB trùng nhau hay B,I,C thẳng hàng

Khi đó điểm I di chuyển trên đường thẳng BC. Gọi HP vuông góc BC tại P

Vì khoảng cách từ H đến I là IH nên HI > HP. Do C,B,H cố định nên HP không đổi

Vậy Min IH = HP = const.

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

Bạn cũng đang thắc mắc