Cho hình chóp cụt tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy lớn \(a\), cạnh đáy nhỏ \(\frac{a}{2}\) và cạnh bên \(2a\). Tính độ dài đường cao của hình chóp cụt đó.
Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\), cạnh đáy nhỏ và đường nối tâm hai đáy bằng \(a\). Tính độ dài cạnh bên và đường cao của mỗi mặt bên.
Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm của hai đáy.
Kẻ \(B'H \bot B{\rm{D}}\left( {H \in B{\rm{D}}} \right),B'K \bot BC\left( {K \in BC} \right)\)
\(\begin{array}{l}B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}} = 2a\sqrt 2 \Rightarrow BO = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = a\sqrt 2 \\B'D' = \sqrt {A'B{'^2} + A'{\rm{D}}{{\rm{'}}^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow B'O' = \frac{1}{2}B'{\rm{D'}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
\(OO'B'H\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow OH = B'O' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},B'H = OO' = a\)
\( \Rightarrow BH = BO - OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác \(BB'H\) vuông tại \(H\) có: \(BB' = \sqrt {B'{H^2} + B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
\(BCC'B'\) là hình thang cân \( \Rightarrow BK = \frac{{BC - B'C'}}{2} = \frac{a}{2}\)
Tam giác \(BB'K\) vuông tại \(K\) có: \(B'K = \sqrt {BB{'^2} - B{K^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Cho hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy là a và 2a chiều cao của mặt bên là a. Tính đọ dài cạnh bên và chiều cao hình chóp cụt
Kẻ A'H ⊥ AB.
Ta có K là trung điểm của AB, I là trung điểm của A'B'. O và O' là tâm của hai hình vuông đáy.
Ta có: A'I =a/2 ; AK = a ⇒ AH =a/2
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AA'H, ta có:
A ' A 2 = A ' H 2 + A H 2 = a 2 + a 2 / 4 = 5 a 2 / 4
Suy ra: AA' = 5 a 2 / 4
Kẻ IE ⊥ OK, ta có: OK = a ⇒ EK = a/2
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông IEK, ta có:
I K 2 = I E 2 + E K 2
Suy ra: I E 2 = I K 2 - E K 2 = a 2 - a / 2 2 = 3 a 2 / 4
Vậy IE = 3 a 2 / 4
Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đáy là a và 2 a, chiều cao của mặt bên là a
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt
b) Tính độ dài cạnh bên và chiều cao hình chóp cụt
\(a,S_{xp}=4.\dfrac{a+2a}{2}.a=6a^2\)
\(b,\)Vẽ một mặt bên. Ta có:\(AH=\dfrac{AB-A^'B^'}{2}=\dfrac{2a-a}{2}=\dfrac{a}{2}\)
Trong tamn giác vuông A'HA:
\(AA^'=\sqrt{a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{5a^2}{4}}\)
Từ đó tính tiếp sẽ ra chiều cao hình chóp
Đáp số :Độ dài cạnh bên là :\(\sqrt{\dfrac{5a^2}{4}}\)
Chiều cao chóp cụt :\(\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}\)
Cho hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, B’C. Cho biết AB = 4 cm, A'B' = 8 cm và MN = 4 cm.
a) Tính diện tích toàn phần hình chóp cụt.
b) Tính chiều cao hình chóp cụt.
c) Lắp một hình chóp đều có độ dài đáy bằng đúng độ dài đáy nhỏ hình chóp cụt. Cho biết cạnh bên hình chóp đều bằng 2 5 c m , hãy tính thể tích của hình chóp đều mói sau khi lắp ghép.
Cho hình chóp cụt tứ giác đều A B C D . A 1 B 1 C 1 D 1 có các cạnh đáy 5cm và 10cm, đường cao mặt bên bằng 5cm. Hãy tính: Tính cạnh bên và đường cao hình chóp cụt.
Kẻ A1H ⊥ AB, ta có:
A 1 I = 2,5cm; AJ = 5cm
Suy ra: AH = 2,5cm
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông A 1 H A , ta có:
A 1 A 2 = A 1 H 2 + A H 2 = 52 + 2,52 = 31,25
Suy ra: A 1 A = 31 , 25 ≈ 5,59 (cm)
Ta có: O 1 I = 2,5; OJ = 5cm.
Kẻ I I 1 ⊥ OJ, suy ra I 1 J = 2,5.
Áp dụng định kí Pi-ta-go vào tam giác vuông I I 1 J , ta có:
I J 2 = I I 1 2 + I 1 J 2
Suy ra: I I 1 2 = I J 2 + I 1 J 2 = 52 – 2,52 = 18,75
Suy ra: I I 1 = 18 , 75 ≈ 4,33 (cm)
Vậy O 1 O = I I 1 = 4,33 (cm)
Cho hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy là a và 2a chiều cao của mặt bên là a. Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt
Một mặt bên của hình chóp cụt là một hình thang có hai đáy là a và 2a; đường cao bằng a.
Diện tích mặt bên là:
S = (a+ 2a): 2.a =3/2 a 2 (đvtt)
Diện tích xung quanh hình nón cụt:
S x q = 4.3/2 a 2 = 6 a 2 (đvtt)
Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\), cạnh đáy nhỏ bằng \(a\), chiều cao \(h = 2a\) và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng \(\frac{a}{2}\).
a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
b) Tính thể tích chân cột nói trên theo \(a\).
tham khảo
Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(O,O'\) là tâm của hai đáy.Vậy \(AB=2a,A'B'=a,OO'=2a\)
a)Gọi \(M,M'\) lần lượt là trung điểm của \(CD,C'D'.\)
\(A'B'C'D'\) là hình vuông \(\Rightarrow O'M\perp C'D\)
\(CDD'C\) là hình thang cân \(\Rightarrow MM'\perp C'D'\)
Vậy \(\widehat{MM'O}\) là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ,\(\widehat{M'MO}\) là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.
Kẻ \(M'H\perp OM\left(H\in OM\right)\)
\(OMM'O'\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow OH=O'M'=\dfrac{a}{2},OM=a,MH=OM-OH=\dfrac{a}{2}\tan\widehat{M'MO}=\dfrac{M'H}{MH}=4\)
\(\Rightarrow\widehat{M'MO}=75,96^o\Rightarrow\widehat{MM'O'}=180^o-\widehat{M'MO}\\ =104,04^o\)
b)Diện tích đáy lớn là:\(S=AB^2=4a^{^2}\)
Diện tích đáy bé là:\(S'=A'B'^2=a^2\)
Thể tích hình chóp cụt là:
\(V_1=\dfrac{1}{3}h\left(S+\sqrt{SS'}+S'\right)\\ =\dfrac{1}{3}.2a\left(4a^2+\sqrt{4a^2.a^2}+a^2\right)=\dfrac{14a^3}{3}\)
Thể tích hình trụ rỗng là:\(V_2=\pi R^2h=\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2.2a=\dfrac{\pi a^3}{2}\)
Thể tích chân cột là:\(V=V_1-V_2=\left(\dfrac{14}{3}-\dfrac{\pi}{2}\right)a^3\)
Cho hình chóp cụt tứ giác đều \(ABCD.A_1B_1C_1D_1\) có các cạnh đáy 5cm và 10cm, đường cao của mặt bên bằng 5cm. Hãy tính :
a) Diện tích xung quanh của hình cụt
b) Tính cạnh bên và chiều cao của hình chóp cụt
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SH = 6cm, cạnh đáy bằng 4cm. Một mặt phẳng đi qua trung d diểm H’ của SH và song song với đáy và cắt mặt bên của hình chóp tạo thành hình chóp nhỏ S.A’B’C’D’ và hình chóp cụt. Tính thể tích của hình chóp cụt ABCD.A’B’C’D’
A. 16 c m 3
B. 28 c m 3
C. 30 c m 3
D. 4 c m 3