\(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=p=\frac{S}{r}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)

Học tốt!!!!!!!!!!!!!!!!

Gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.Ta có:

\(S_{OAC}+S_{OAB}-S_{OBC}=S_{ABC}\Rightarrow b.r_a+c.r_a-a.r_a=2S\Rightarrow S=\frac{r_a\left(b+c-a\right)}{2}=r_a\left(p-a\right).\)(p là nửa chu vi tam giác ABC)

Cm tương tự: \(S=r_a\left(p-a\right)=r_b\left(p-b\right)=r_c\left(p-c\right)=p.r\)

\(\Rightarrow\frac{S}{r_a}+\frac{S}{r_b}+\frac{S}{r_c}=p-a+p-b+p-c=3p-2p=p=\frac{S}{r}\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\)(đpcm)

Đặt BC=a, AC=b, AB=c

 \(P=\frac{a+b+c}{2}\)

S là diện tích của tam giác ABC

Ta có công thức tính bán kính của các đường tròn bàng tiếp:

Tại góc A: \(r_a=\frac{S}{P-a}\)

Tại góc B: \(r_b=\frac{S}{P-b}\)

Tại góc C: \(r_c=\frac{S}{P-c}\)

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC:

\(r=\frac{S}{P}\)

=> \(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{P-a}{S}+\frac{P-b}{S}+\frac{P-c}{S}=\frac{3P}{S}-\frac{a+b+c}{S}\)

\(=\frac{3P}{S}-\frac{2P}{S}=\frac{P}{S}=\frac{1}{r}\)

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện, V là thể tích tứ diện. Ta có :

\(V=V_{IBCD}+V_{ICDA}+V_{IDAB}+V_{IABC}\)

Bài toán này dựa vào nhận xét sau đây: Nếu AD,BE,CF là đường cao của tam giác thì \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{1}{r}.\) Thực vậy, do tâm đường tròn nội tiếp chia tam giác ra thành 3 tam giác con có cùng độ dài đường cao là r. Do đó \(S=r\cdot\frac{AB+BC+CA}{2},\) với \(S\) là diện tích tam giác ABC. Mặt khác \(\frac{1}{AD}=\frac{BC}{2S},\frac{1}{BE}=\frac{CA}{2S},\frac{1}{CF}=\frac{AB}{2S}\to\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{AB+BC+CA}{2S}.\) Từ đó ta có đẳng thức.

Quay lại bài toán, từ giả thiết suy ra \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}.\) Do quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, ta có \(AM\ge AD,AN\ge BE,AP\ge CF\to\)các dấu bằng phải xảy ra, do đó M,N,P trùng với chân các đường cao của tam giác. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau BP=BM, suy ra hai  tam giác vuông AMB và CPB bằng nhau (g.c.g). Do đó AB=CB. Tương tự BC=AC. Vậy tam giác ABC đều.

Có \(\sin\widehat{A}=\frac{h_c}{b}=\frac{h_b}{c}=\frac{h_c-h_b}{b-c}=\frac{h_b-h_c}{\frac{a}{k}}=\frac{k\left(h_b-h_c\right)}{a}\) (1) 

Lại có : \(\hept{\begin{cases}\sin\widehat{B}=\frac{h_c}{a}\\\sin\widehat{C}=\frac{h_b}{a}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(k\left(\sin\widehat{B}-\sin\widehat{C}\right)=\frac{k\left(h_c-h_b\right)}{a}\) (2) 

(1) (2) ... 

\(\sin\widehat{B}=\frac{h_a}{c}\)\(;\)\(\sin\widehat{C}=\frac{h_a}{b}\) (1) 

\(\hept{\begin{cases}\sin\widehat{B}=\frac{h_c}{a}\\\sin\widehat{C}=\frac{h_b}{a}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}h_c=\sin\widehat{B}.a\\h_b=\sin\widehat{C}.a\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\)\(k\left(\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c}\right)=\frac{k}{a}.\left(\frac{1}{\sin\widehat{C}}-\frac{1}{\sin\widehat{B}}\right)\) (2)  

Thay (1) vào (2) ta được \(\frac{k}{a}.\left(\frac{1}{\sin\widehat{C}}-\frac{1}{\sin\widehat{B}}\right)=\frac{k}{a}.\left(\frac{b}{h_a}-\frac{c}{h_a}\right)=\frac{k}{a}.\frac{\frac{a}{k}}{h_a}=\frac{1}{h_a}\)

đpcm