Tham khảo cách làm sau:

1.Áp dụng định lý Fermat nhỏ.

1) \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)

Vì \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5\)( tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)

và \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)

=> \(a^5-a⋮5\)

Nếu \(a^5⋮5\)=> a chia hết cho 5

Cách 2

\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Do a nguyên nên a có 5 dạng:\(5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4\)

Nếu \(a=5k\Rightarrow a^5-a=5k\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+1\Rightarrow a^5-a=a\cdot5k\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+2\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+20k+5\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+3\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+30k+10\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+4\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(5k+5\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Vậy \(a^5-a⋮5\)

giúp tui

Theo 2 trường hợp:

TH1 : n là số lẻ

=> tích của n số là số lẻ nên các số trong n số đều lẻ

vậy tổng n số tự nhiên là số lẻ, mà theo đề bài tổng n số này là chẵn  => loại .

TH2 : n là số chẵn

=>  tích của n số này là chẵn nên trong n số phải có ít nhất 1 số chẵn

,  Nếu trong n số chỉ có 1 số chẵn thì (n-1) số còn lại là lẻ

=> Tổng các số là lẻ ( loại )

+, Nếu trong n số có ít nhất 2 số chẵn thì tích của 2 số này chia hết cho 4

   Theo đề bài trên : tích của n số tự nhiên bằng n

    Vậy n chia hết cho 4

Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ sau đâu:

a)    Nếu n là số lẻ thì do tích n số tự nhiên bằng n lẻ nên tất cả n số đều là các số lẻ, và tổng của n số lẻ là một số lẻ nên không thể bằng 2012 (loại trường hợp này)

b)   Nếu n là số chẵn thì do tích n số tự nhiên bằng n nên trong n số đã cho có ít nhất 1 số chẵn. Xét hai khả năng sau đây:

+) Nếu trong n số chỉ có đúng một số chẵn, thì (n – 1) số còn lại đều là các số lẻ, khi đó tổng của (n – 1) số lẻ là một số lẻ, kết hợp với số chẵn duy nhất thì tổng của n số đã cho là một số lẻ và không thể bằng 2012 (loại khả năng này).

+) Nếu trong n số có ít nhất 2 số chẵn thì tích cỉa 2 số này chia hết cho 4. Theo giả thiết, tích của n số tự nhiên bằng n nên suy ra chia hết cho 4.

  Xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu n là số lẻ thì tích của n số là số lẻ nên các số trong n số đều lẻ

                => Tổng n số tự nhiên này là số lẻ

         Mà theo đề bài tổng n số này là chẵn  => loại 

TH2: Nếu n là số chẵn thì tích của n số này là chẵn nên trong n số phải có ít nhất 1 số chẵn

+,  Nếu trong n số chỉ có 1 số chẵn thì (n-1) số còn lại là lẻ => Tổng các số là lẻ ( loại )

+, Nếu trong n số có ít nhất 2 số chẵn thì tích của 2 số này chia hết cho 4

   Theo giả thiết: tích của n số tự nhiên bằng n

         => n chia hết cho 4

Xét 2 trường hợp n chẵn và n lẻ sau đây:

A) Nếu n là số lẻ thì tích n số tự nhiên bằng lẻ nên tất cả các số trong n đều là số lẻ, tổng của n số lẻ là một số lẻ mà theo đề bài, tổng của n số là 2012 ( loại trường hợp này)

B) Nếu n là số chẵn thì tích n số tự nhiên là một số chẵn nên trong n phải ít nhất có một số chẵn. Xét 2 khả năng sau:

 + Nếu trong n chỉ có 1 số chẵn thì (n-1) còn lại đều là các số lẻ, kết hợp với số chẵn duy nhất thì tổng của n số đã cho là một số lẻ và không thể bằng 2012( loại khả năng này)

+Nếu trong n có ít nhất 2 số chẵn thì tích của 2 số này chia hết cho 4. Theo giả thiết, tích của n số tự nhiên bằng n nên n chia hết cho 4.