a: Xét ΔAHD và ΔAED có

AH=AE

góc HAD=góc EAD

AD chung

=>ΔAHD=ΔAED

=>DH=DE và góc AED=góc AHD=90 độ

DH=DE

DE<DC

=>DH<DC

b: AH=AE

DH=DE

=>AD là trung trực của HE

c: góc BAD+góc CAD=90 độ

góc BDA+góc HAD=90 độ

mà góc CAD=góc HAD

nên góc BAD=góc BDA

=>ΔBAD cân tại B

a: Xét ΔAHD và ΔAED có 

AH=AE

\(\widehat{HAD}=\widehat{EAD}\)

AD chung

DO đó: ΔAHD=ΔAED

Suy ra: DH=DE

Ta có: DH=DE

mà DE<DC

nên DH<DC

b: Ta có: AH=AE

nên A nằm trên đường trung trực của HE(1)

Ta có: DH=DE

nên D nằm trên đường trung trực của HE(2)

Từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của HE

c: \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=90^0\)

\(\widehat{BDA}+\widehat{HAD}=90^0\)

mà \(\widehat{CAD}=\widehat{HAD}\)

nên \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)

hay ΔBDA cân tại B

d: Để ΔBDA đều thì \(\widehat{B}=60^0\)

a) Xét  \(\Delta AIB\),\(\Delta AIC\) có: ^BAI=^CAI (gt) , AI chung, AB=AC

=>\(\Delta AIB\)=\(\Delta AIC\)(c.g.c)

b) Xét\(\Delta AMD\), \(\Delta CMB\) có: ^AMD=^BMC (2 goc đối điỉnh)

AM=MC(gt) ; BM=MD(gt)

=>\(\Delta AMD\)=\(\Delta CMB\)(c.g.c)

=> AD=BC ;  BD=AC

Xét \(\Delta ABC\) => AB+BC>AC ( bđt trong tam giác)

mà AC=BD => AB+BC>BD

c) xét \(\Delta AHM\),\(\Delta CKM\) (^AHM=^CKM=90^o) có: AM=MC(gt) ,  ^AMH=^CMK ( 2gocs dd)

=>\(\Delta AHM\)=\(\Delta CKM\)

=>AH=CK

=>AH+CK=2AH

Xét \(\Delta AHM\) vuông tại H:=> ^AMH< ^AHM

=> AM>AH

=>2AM>2AH

mà 2AM=AC(gt) 2AH= AH +CK

=>AC>AH+CK

                                                                                      Giải

a, Vì ED \(\perp\)BC ( gt ) \(\Rightarrow\)\(\Delta\)DBE là tam giác vuông tại D

Xét \(\Delta\) vuông ABE và \(\Delta\)vuông DBE, có :

BE : cạnh chung 

góc ABE = góc DBE ( BE là tpg góc ABC ) 

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)vuông ABE = \(\Delta\) vuông DBE ( cạnh huyền góc nhọn )

b, Vì \(\Delta\) ABE = \(\Delta\)DBE ( cmt )

\(\Rightarrow\)BA = BD ( 2 cạnh tương ứng ) \(\Rightarrow\)B nằm trên đtt của AD ( đ/l đảo )

          AE = DE ( 2 cạnh tương ứng )\(\Rightarrow\) E nằm trên đtt của AD ( đ/l đảo )

Từ 2 điều trên \(\Rightarrow\) BE là đtt của đoạn thẳng AD 

c, +, ta có : \(\Delta\)BAD cân tại B ( BA = BD )

\(\Rightarrow\)góc BAD = góc BDA ( t/c )

Vì AH \(\perp\) BC tại H ( gt ) \(\Rightarrow\) \(\Delta\) HAD vuông tại H 

Xét \(\Delta\)vuông HAD, có :

góc HAD + góc HDA ( hay góc BDA ) = 90^o ( 2 góc phụ nhau )

Xét \(\Delta\) vuông ABC, có :

góc CAD + góc BAD = 90^o ( 2 góc phụ nhau )

Mà góc BDA = góc BAD ( cmt )

Từ các điều trên \(\Rightarrow\)góc HAD = góc CAD    (1)

Mà tia AD nằm giữa 2 tia AH, AC ( cách vẽ )    (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) AD là tpg của góc HAC ( đpcm )

a) Ta có: BA = BD (Gt)

=> Tam giác BAD cân tại B

=> góc BAD = góc BDA (đpcm)

b) Ta có: góc HAD + góc HDA = 90⁰ (tam giác ADH vuông tại H)

              góc DAC + góc DAB = 90⁰ (tam giác ABC vuông tại A)

Mà góc HDA = góc DAB (cm a)

=> 90⁰ - HDA = 90⁰ - DAB

hay góc HAD = góc DAC    (1)

Mà AD nằm giữa AH và AC    (2)

Từ (1) và (2):

=> AD là phân giác của góc HAC (đpcm)

c) Xét tam giác AHD và tam giác AKD có:

                    góc H   =  góc K (=90⁰)

                       AD    =   AD (cạnh chung)

                  góc HAD = góc DAC ( cm b)

    Vậy tam giác AHD = tam giác AKD (ch-gn) (đpcm)

                       => AH = AK (cạnh tương ứng) (đpcm)

d) Đang nghĩ

d) Xét tam giác DKC có: góc K = 90⁰

=> Cạnh DC lớn nhất

==> KC + AK + BD < DC + BD + AK (vì KC < DC)

==> AC + BD < BC + AK ( do KC + AK = AC; DC + BD = BC)

Mà: AB = BD (Gt)

      AK = AH (cm c)

=> AC + AB < BC + AH 

Mà BC + AH < BC + 2AH

==> AB + AC < BC + 2AH (đpcm)

a: Xét ΔABD vuông tại B và ΔAED vuông tại E có 

AD chung

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\)

Do đó: ΔABD=ΔAED

Suy ra: AB=AE và DB=DE

b: Xét ΔDBK vuông tại B và ΔDEC vuông tại E có 

DB=DE

BK=EC

Do đó: ΔDBK=ΔDEC

Suy ra: DK=DC

Ta có: AB+BK=AK

AE+EC=AC

mà AB=AE

và BK=EC

nên AK=AC

Ta có: AK=AC

nên A nằm trên đường trung trực của KC(1)

Ta có: DK=DC

nên D nằm trên đường trung trực của KC(2)

Ta có: IK=IC

nên I nằm trên đường trung trực của KC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,D,I thẳng hàng

a) Ta có bd = ba (do đường cao ah là đường cao của tam giác vuông abc), và bd = ba nên tam giác abd là tam giác cân tại b.
Do đó, ad là đường phân giác của góc hacb (do ad là đường phân giác của tam giác abd).

b) Vẽ dk vuông góc với ac tại k. Ta cần chứng minh ak = ah.
Ta có tam giác akd vuông tại k, và tam giác ahd vuông tại h.
Do đó, ta cần chứng minh tam giác akd đồng dạng với tam giác ahd.
Ta có:
- Góc akd = góc ahd (vuông góc với ac)
- Góc kda = góc hda (cùng là góc nhọn)
- Cạnh ad chung
Do đó, tam giác akd đồng dạng với tam giác ahd.
Vậy, ak = ah.

c) Ta cần chứng minh ab + ac < bc + ah.
Ta có:
ab + ac = ab + ad + dc (do ad là tia phân giác của góc hacb)
= ab + ak + kc (do ak = ah và dk vuông góc với ac)
= ab + ah + kc (do ak = ah)
= ab + ah + hc (do kc = hc)
= ab + ah + bc (do ah là đường cao của tam giác abc)
= bc + ah + ab
= bc + ah + ba (do ab = ba)
= bc + ah.
Vậy, ab + ac < bc + ah.

a: Xét ΔABD vuông tại B và ΔAED vuông tại E có

AD chung

góc BAD=góc EAD

=>ΔABD=ΔAED

=>AB=AE và DB=DE

=>AD là trung trực của BE

b: Xét ΔDBF vuông tại B và ΔDEC vuông tại E có

DB=DE

góc BDF=góc EDC
=>ΔDBF=ΔDEC

=>BF=EC và DF=DC

AB+BF=AF

AE+EC=AC

mà AB=AE và BF=EC

nên AF=AC

Xét ΔADF và ΔADC có

AD chung

DF=DC

AF=AC
=>ΔADF=ΔADC