`a,b,c>0,a+b+c=6`
`CM:3(a^2+b^2+c^2)+2abc>=52`
Được sử dụng schur nha!!
Những câu hỏi liên quan
Bài 1:Cho 0<=a;b;c<=2.a+b+c=3
CM:3<=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)<=9
Bài 2: Cho -1<=a;b;c<=2.a+b+c=0.CM:
a,a^2+b^2+c^2<=6
b,2abc<=a^2+b^2+c^2<=2abc+2
c,a^2+b^2+c^2<=8-abc
Bài 1
Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)
Biến đổi:
\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)
\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)
\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)
\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 2a)
Ta có
\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)
\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)
Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó
Đúng 0
Bình luận (0)
Câu 2b)
Đặt \((a,b,c)\mapsto(x-1,y-1,z-1)\)
Khi đó ta có \(0\leq x,y,z\leq 3,x+y+z=3\)
Cần cm
\(2(x-1)(y-1)(z-1)\leq (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\leq 2(x-1)(y-1)(z-1)+2\)
Vế đầu:
Khai triển kết hợp với $x+y+z=3$ thì \(\text{BĐT}\Leftrightarrow xyz\leq 1\)
Điều này đúng vì theo AM-GM cho số không âm thì \(3=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\rightarrow xyz\leq 1\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=0$
Vế sau:
Tương tự phần trên \(\text{BĐT}\Leftrightarrow xyz\geq 0\) ( luôn đúng do $x,y,z\geq 0$)
Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(2,-1,-1)$ và hoán vị
Lưu ý: "Khi" khác với "khi và chỉ khi"- nghĩa là chỉ nêu 1TH chứ chưa quét hết toàn bộ điểm rơi
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
1.
Cho -1<=a;b;c<=2.a+b+c=0.CM:
a,a^2+b^2+c^2<=6
b,2abc<=a^2+b^2+c^2<=2abc+2
c,a^2+b^2+c^2<=8-abc
2,
Cho 0<=a;b;c<=2.a+b+c=3
CM:3<=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)<=9
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và a+b+c=2 CM 52/27<=a^2+b^2+c^2+2abc<2
Vô danh sách bạn bè là biết mà mokona
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c>0. CM \(\frac{b^3+2abc+c^3}{a^2+bc}+\frac{c^3+2abc+a^3}{b^2+ac}+\frac{a^3+2abc+b^3}{c^2+ab}\ge2\left(a+b+c\right)\)
cho tam ABC có 3 cạnh a,b,c thỏa mãn a+b+c=6.
CMR\(52\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc< 54\)
Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác a+b+c=6
CMR: 52 < hoặc bằng \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\)<54
1. Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác sao cho a+b+c=2
CM:a^2+b^2+c^2+2abc < 2
2. Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác
CM: B=a^4+b^4+c^4-2a^2.b^2-2b^2.c^2-2c^2.a^2 < 0
3. Cho a,b,c dương biết a,b,c khác nhau
CM: A=a^3+b^3+c^3-3abc > 0
Quy định của hoc24 là chỉ dc dăng 1 bài trong 1 câu hỏi bạn nhé
Đúng 0
Bình luận (0)
bài 1 :
Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và có chu vi là 2
--> a + b + c = 2
Trong 1 tam giác thì ta có:
a < b + c
--> a + a < a + b + c
--> 2a < 2
--> a < 1
Tương tự ta có : b < 1, c < 1
Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
⇔ (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0
⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc
Nên abc < -1 + ab + bc + ca
⇔ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2
--> đpcm
Đúng 0
Bình luận (5)
Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a + b + c = 6
Chứng minh :
54 > 3 ( a2 + b2 + c2 ) + 2abc ≥ 52
cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thoả mãn a + b + c = 6
\(CMR:52\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc<54\)