Thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(x-1\), ta được:

\(f(x)=(x-1)\cdot Q(x)+r\\\Rightarrow f(1)=(1-1)\cdot Q(1)+r\\\Rightarrow f(1)=r\\\Rightarrow 1^{100}+1^{99}+1^{98}+1^{97}+...+1+1=r\\\Rightarrow r=101(101.chữ.số.1)\)

Vậy số dư của phép chia $f(x)$ cho $(x-1)$ là 101.

Để tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho (x^2 + 1)(x - 2), chúng ta cần sử dụng định lý dư của đa thức. Theo định lý dư của đa thức, nếu chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) và được dư đa thức r(x), thì ta có: f(x) = q(x) * g(x) + r(x) Trong trường hợp này, chúng ta biết rằng f(x) chia cho x - 2 dư 7 và chia cho x^2 + 1 dư 3x + 5. Vì vậy, chúng ta có các phương trình sau: f(x) = q(x) * (x - 2) + 7 f(x) = p(x) * (x^2 + 1) + (3x + 5) Để tìm dư của phép chia f(x) cho (x^2 + 1)(x - 2), ta cần tìm giá trị của r(x). Để làm điều này, chúng ta cần giải hệ phương trình trên. Đầu tiên, chúng ta sẽ giải phương trình f(x) = q(x) * (x - 2) + 7 để tìm giá trị của q(x). Sau đó, chúng ta sẽ thay giá trị của q(x) vào phương trình f(x) = p(x) * (x^2 + 1) + (3x + 5) để tìm giá trị của p(x) và r(x). Nhưng trước tiên, chúng ta cần biết đa thức f(x) là gì. Bạn có thể cung cấp thông tin về đa thức f(x) không?

Vì đa thức chia bậc 2 nên đa thức dư có bậc 1 và có dạng ax + b

Đặt \(f\left(x\right)=\left(x^2-2x-3\right)O\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-3\right)O\left(x\right)+ax+b\)(3)

      \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)Q\left(x\right)-45\) (1)

      \(f\left(x\right)=\left(x-3\right)H\left(x\right)-165\) (2)

Thay lần lượt x = -1 và x = 3 vào (1) và (2), ta có:

\(\hept{\begin{cases}f\left(-1\right)=-45\\f\left(3\right)=-165\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-a+b=-45\\3a+b=-165\end{cases}}\)(dựa vào (3))

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4a=-120\\-a+b=-45\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a=-30\\-\left(-30\right)+b=-45\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a=-30\\b=-75\end{cases}}\)

Vậy f(x) chia \(x^2-2x-3\)dư \(ax+b=-30x-75\)

Chúc bạn học tốt.

b: Ta có: f(x):g(x)

\(=\dfrac{x^3-2x^2+3x+a}{x+1}\)

\(=\dfrac{x^3+x^2-3x^2-3x+6x+6+a-6}{x+1}\)

\(=x^2-3x+6+\dfrac{a-6}{x+1}\)

Để f(x):g(x) là phép chia hết thì a-6=0

hay a=6

a: Thay a=3 vào f(x), ta được:

\(f\left(x\right)=x^3-2x^2+3x+3\)

\(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\dfrac{x^3-2x^2+3x+3}{x+1}\)

\(=\dfrac{x^3+x^2-3x^2-3x+6x+6-3}{x+1}\)

\(=x^2-3x+6-\dfrac{3}{x+1}\)

Gọi thương của phép chia f(x) cho x là p(x)

        thương của phép chia f(x) cho x-1 là q(x)

       Thương và dư của phép chia f(x) cho x(x-1) là:h(x) và r(x)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(x\right)=x.p\left(x\right)+1\left(1\right)\\f\left(x\right)=\left(x-1\right).q\left(x\right)+2\left(2\right)\\f\left(x\right)=x.\left(x-1\right).h\left(x\right)+r\left(x\right)\left(3\right)\end{cases}}\)

Xét biểu thức (3)

Do đa thức chia x.(x-1) có bậc là 2 nên r(x) có bậc <2

=> r(x) có dạng ax+b

=>f(x)=x.(x-1).h(x)+ax+b (4)

Do (4) đúng với mọi x=>(4) đúng với x=0,x=1

Với x=0 thay vào (4) ta được

f(0)=0.(0-1).h(0)+a.0+b

=> f(0)=b (5)

Với x=1 thay vào (4) ta được

f(1)=1.(1-1).h(1)+a.1+b

=>f(1)=a+b (6)

Lại có :từ(1) => f(0)=0.p(0)+1

                    =>f(0)=1 (7)

           Từ (2) => f(1)=(1-1).q(1)+2

                     => f(1)=2(8)

Từ (5),(7)=>b=1

Từ (6),(8)=>a+b=2

Suy ra a+b-b=2-1

=>a=1

=>ax+b=x+1

Vậy dư của đa thức f(x) cho x.(x-1) là x+1

Tk mk nha!!!!

*****Chúc bạn học giỏi*****

2) Ta có đẳng thức sau: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

 Chứng minh thì bạn chỉ cần bung 2 vế ra là được.

 \(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)

 Do \(a+b+c⋮4\) nên ta chỉ cần chứng minh \(abc⋮2\) là xong. Thật vậy, nếu cả 3 số a, b,c đều không chia hết cho 2 thì \(a+b+c\) lẻ, vô lí vì \(a+b+c⋮4\). Do đó 1 trong 3 số a, b, c phải chia hết cho 2, suy ra \(abc⋮2\).

 Do đó \(P⋮4\)

Rõ ràng đa thức \(x^3-1\) chia hết cho đa thức \(x^2+x+1\).

Ta tách: \(x^9+x^6+x^3+1=\left(x^9-1\right)+\left(x^6-1\right)+\left(x^3-1\right)+4=\left(x^3-1\right)\left(x^6+x^3+1\right)+\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)+\left(x^3-1\right)+4\).

Từ đây suy ra đa thức đó chia cho đa thức \(x^2+x+1\) được đa thức dư là 4.

Không chia có mà làm=niềm tin ah