Trước tiên, ta có BM = BC theo đề bài. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có góc BAC = 90 độ.

Tiếp theo, ta biết rằng phân giác tam giác ABC cắt AC tại K. Vì vậy, ta có góc BAK = góc CAK.

Tương tự, phân giác tam giác ABC cắt MC tại I, nên ta có góc BAM = góc CAM.

Vì CN = MA, nên ta có góc CAN = góc CMA.

Từ các quan sát trên, ta có thể thấy rằng góc BAK = góc BAM = góc CAN = góc CMA.

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng K, M, N thẳng hàng.

BN+NC=BC

BA+AM=BM

mà BC=BM và NC=AM

nên BN=BA

Xét ΔBAK và ΔBNK có

BA=BN

góc ABK=góc NBK

BK chung

Do đó: ΔBAK=ΔBNK

=>góc BNK=90 độ và KA=KN

Xét ΔKAM vuông tại A và ΔKNC vuông tại N có

KA=KN

AM=NC

Do đó; ΔKAM=ΔKNC

=>góc AKM=góc NKC

=>góc AKM+góc AKN=180 độ

=>K,M,N thẳng hàng

Ta có : Tam giác ABM cân tại B

=>MAB^=AMB^ (1)

Lại có : IMB^=IAB^=90* (2)

Từ 1 và 2 : +)IAM^=90*-MAB^

                  +)IMA^ =90*-AMB^

                  =>IAM^=IMA^

=>Tam giác IAM cân tại I

=>IA=iM

''∠'' là góc nhé.
a) Vì ∆ABC vuông tại A (GT) 
=> ∠BAC = 90^o (ĐN) (1)
Vì IM ⊥ BC (GT)
=> ∠IMB = 90^o 
Mà ∠BAC = 90^o (Theo (1))
(Ngoặc ''}'' 2 điều trên)
=> ∠BAC = ∠IMB = 90^o
Hay ∠BAI = ∠IMB = 90^o (2)
Xét ∆ABI và ∆MBI có :
∠BAI = ∠IMB = 90^o (Theo (2))
  BI chung
  BA = BM (Gt)
=> ∆ABI = ∆MBI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> AI = IM (2 cạnh tương ứng) (3)

b) Ta có : ∠BAC + ∠NAC = 180^o (2 góc kề bù)
    Mà ∠BAC = 90^o (Theo (1))
=> 90^o + ∠NAC = 180^o 
=> ∠NAC = 180^o - 90^o = 90^o
Vì IM ⊥ BC (GT) => ∠IMC = 90^o (ĐN)
(Ngoặc ''}'' 2 điều trên)
=> ∠NAC = ∠IMC = 90^o
Hay ∠NAI = ∠IMC = 90^o (4)
Lại có : ∠I₁ = ∠I₂ (2 góc đối đỉnh) (5)
Xét ∆ANI và ∆MCI có :
∠NAI = ∠IMC = 90^o (Theo (4))
AI = MI (Theo (3))
∠I₁ = ∠I₂ (Theo (5))
=> ∆ANI = ∆MCI (g.c.g)
=> AN = MC (2 cạnh tương ứng)
Mà AN + BA = BN
      MC + BM = BC 
     BA = BM (GT)
(Ngoặc ''}'' 4 điều trên)
=> BN = BC
=> ∆NBC cân tại B (ĐN)
P/s : Xin lỗi, mình chỉ làm được đến đây thôi, nghỉ nhiều quá nên mình ngu hẳn, có gì mình nghiên cứu lại sau :(.

a: ΔACB cân tại A

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{FCN}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{ABC}=\widehat{FCN}\)

Xét ΔEBM vuông tại M và ΔFCN vuông tại N có

BM=CN

\(\widehat{EBM}=\widehat{FCN}\)

Do đó: ΔEBM=ΔFCN

=>EM=FN

b: ED//AC

=>\(\widehat{EDB}=\widehat{ACB}\)(hai góc đồng vị)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

nên \(\widehat{EDB}=\widehat{ABC}\)

=>\(\widehat{EBD}=\widehat{EDB}\)

=>ΔEBD cân tại E

ΔEBD cân tại E

mà EM là đường cao

nên M là trung điểm của BD

=>MB=MD

c: EM\(\perp\)BC

FN\(\perp\)BC

Do đó: EM//FN

Xét ΔOME vuông tại M và ΔONF vuông tại N có

ME=NF

\(\widehat{MEO}=\widehat{NFO}\)(hai góc so le trong, EM//FN)

Do đó: ΔOME=ΔONF

=>OE=OF

Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBDM vuông tại D có

BM chung

BA=BD

Do đó: ΔBAM=ΔBDM

=>MA=MD

Xét ΔMAN vuông tại A và ΔMDC vuông tại D có

MA=MD

\(\widehat{AMN}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAN=ΔMDC

=>AN=DC và MN=MC

Ta có: BA+AN=BN

BD+DC=BC

mà BA=BD và AN=DC

nên BN=BC

=>B nằm trên đường trung trực của NC(1)

ta có: MN=MC

=>M nằm trên đường trung trực của NC(2)

Ta có: IN=IC

=>I nằm trên đường trung trực của NC(3)

từ (1),(2),(3) suy ra B,M,I thẳng hàng

Bài 1: 

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC

hay BMNC là hình thang

b: Xét ΔABK có MI//BK

nên MI/BK=AM/AB=1/2(1)

XétΔACK có NI//CK

nên NI/CK=AN/AC=1/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MI/BK=NI/CK

mà MI=NI

nên BK=CK

hay K là trug điểm của BC

Xét ΔABC có 

K là trung điểm của BC

M là trung điểm của AB

Do đó: KM là đường trung bình

=>KM//AN và KM=AN

hay AMKN là hình bình hành