\(\tan B=\sqrt{2}\Leftrightarrow\dfrac{\sin B}{\cos B}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\sin B=\sqrt{2}\cos B\\ \sin^2B+\cos^2B=1\Leftrightarrow3\cos^2B=1\\ \Leftrightarrow\cos B=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \Leftrightarrow\sin B=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sin C=\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\cos C=\sin B=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{matrix}\right.\\ \cot C=\tan B=\sqrt{3};\tan C=\dfrac{1}{\cot C}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(a,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15\left(cm\right)\left(pytago\right)\)

Áp dụng HTL:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AH^2=BH\cdot CH\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=5,4\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=9,6\left(cm\right)\\AH=\sqrt{5,4\cdot9,6}=51,84\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(b,\sin B=\cos C=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\\ \cos B=\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\\ \tan B=\cot C=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4}{3}\\ \cot B=\tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)

Giải:
Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

\(\Rightarrow70^o+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=110^o\)

Mà \(\widehat{B}-\widehat{C}=20^o\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\left(110^o+20^o\right):2=65^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=65^o-20^o=45^o\)

Vậy ...

\(tanB=\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{AC^2}{AB^2}=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC^2}{AB^2}+1=3\Rightarrow\dfrac{AC^2+AB^2}{AB^2}=3\Rightarrow\dfrac{BC^2}{AB^2}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Mà \(sinC=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow sinC=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(sin^2C+cos^2C=1\Rightarrow\dfrac{1}{3}+cos^2C=1\Rightarrow cosC=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)

\(tanC=\dfrac{sinC}{cosC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

b.

Trong tam giác vuông ACH:

\(sinC=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AC=\dfrac{AH}{sinC}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=6\left(cm\right)\)

Trong tam giác vuông ABC:

\(tanB=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB=\dfrac{AC}{tanB}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)

Áp dụng Pitago:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=3\sqrt{6}\left(cm\right)\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\tan\widehat{B}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow AC=AB\cdot\sqrt{2}\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=3\cdot AB^2\)

hay \(BC=AB\cdot\sqrt{3}\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\cos\widehat{C}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)

\(\tan\widehat{C}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cot\widehat{C}=\sqrt{2}\)

a) Vì \(AB=AC\) (giả thiết)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

Mà \(AM\) là đường trung tuyến (giả thiết)

\(\Rightarrow AM\) cũng là đường phân giác \(\widehat{A}\) 

b) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A (cmt)

Mà \(AM\) là đường phân giác (cmt)

\(\Rightarrow AM\) là đường trung trực \(BC\)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

c) Xét \(\Delta AMC\left(\widehat{M}=90^o\right)\) có:

\(AC^2=AM^2+MC^2\) (định lí pitago)

\(\Rightarrow AM=\sqrt{AC^2-MC^2}=\sqrt{5^2-\left(\dfrac{6}{2}\right)^2}=4\left(cm\right)\)

d) Xét \(\Delta AME\left(\widehat{E}=90^o\right)\) và \(\Delta AMF\left(\widehat{F}=90^o\right)\) có:

\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\) (do \(AM\) là tia phân giác \(\widehat{EAF}\))

\(AM\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta AME=\Delta AMF\left(ch.gn\right)\)

\(\Rightarrow ME=MF\) (\(2\) cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta MEF\) cân tại \(M\)

a, Xét tam giác ABC có : AB = AC 

Vậy tam giác ABC cân tại A

Lại có M là trung điểm BC hay AM là trung tuyến 

=> AM đồng thời là đường phân giác ^A

b, Xét tam giác ABC cân tại A

AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao 

hay AM vuông BC 

c, Vì M là trung tuyến BC => BM = BC/2 = 6/2 = 3 cm 

Theo định lí Pytago tam giác ABM vuông tại M

\(AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=4cm\)

d, Xét tan giác AFM và tam giác AEM có : 

^AFM = ^AEM = 90⁰

AM _ chung 

^FAM = ^EAM ( AM là phân giác )

Vậy tam giác AFM = tam giác AEM ( ch - gn ) 

=> FM = EM ( 2 cạnh tương ứng )

Xét tam giác MEF có FM = EM 

Vậy tam giác MEF cân tại M 

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\)

\(\cos\widehat{B}=\dfrac{3}{5}\)

\(\tan\widehat{B}=\dfrac{4}{3}\)

\(\cot\widehat{B}=\dfrac{3}{4}\)

AB<BC là đề sai rồi bạn

a: Xét ΔABC có góc A+góc B+góc C=180 độ

=>góc A=180 độ-30 độ-20 độ=130 độ

Xét ΔABC có BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

=>AC/sin30=AB/sin20=30/sin130

=>\(AC\simeq19,58\left(cm\right);AB\simeq13,39\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H có sin B=AH/AB

=>AH/13,39=1/2

=>AH=6,695(cm)

b: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên AB/AC=BD/DC

=>\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{13.39}{19.58}\)

=>\(\dfrac{BD}{13.39}=\dfrac{CD}{19.58}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{13.39}=\dfrac{CD}{19.58}=\dfrac{BD+CD}{13.39+19.58}=\dfrac{30}{32.97}=\dfrac{1000}{1099}\)

=>\(BD\simeq12,18\left(cm\right);CD\simeq17,82\left(cm\right)\)

Giải 

a) Xét \(\Delta ABC\) ta có : 

\(\widehat{B}=\widehat{A}+\widehat{C}=180^0\) ( Định lí tổng 3 góc của 1 tam giác ) 

\(\widehat{B}=90^0+32^0=180^0\)

\(\widehat{B}=122^0=180^0\)

\(\widehat{B}=180^0-122^0=58^0\)

b)

Theo bài ra ta có : \(\widehat{A}:\widehat{B}:\widehat{C}=2:7:1\)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{\widehat{B}}{7}=\dfrac{\widehat{C}}{1}\)

Lại có : \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\) ( Định lí tổng 3 góc của 1 tam giác )

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nên ta có : 

\(\dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{\widehat{B}}{7}=\dfrac{\widehat{C}}{1}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{2+7+1}=\dfrac{180^0}{10}=18^0\)

\(+)\)\(\dfrac{\widehat{A}}{2}=18^0\Rightarrow\widehat{A}=18^0\times2=36^0\)

\(+)\)\(\dfrac{\widehat{B}}{7}=18^0\Rightarrow\widehat{B}=18^0\times7=126^0\)

\(+)\)\(\dfrac{\widehat{C}}{1}=18^0\Rightarrow\widehat{C}=18^0\times1=18^0\)

c)

Xét \(\Delta ABC\) ta có : 

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\) ( Định lí trong 3 góc cùng 1 tam giác ) 

\(\widehat{A}+75^0+\widehat{C}=180^0\)

\(\widehat{A}+\widehat{C}=180^0-75^0\)

\(\widehat{A}+\widehat{C}=105^0\)

Theo bài ra ta có : 

\(\widehat{A}:\widehat{C}=3:2\Rightarrow\dfrac{\widehat{A}}{3}=\dfrac{\widehat{B}}{2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nên ta có : 

\(\dfrac{\widehat{A}}{3}=\dfrac{\widehat{C}}{2}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{C}}{3+2}=\dfrac{105^0}{5}=21^0\)

\(+)\)\(\dfrac{\widehat{A}}{3}=21^0\Rightarrow\widehat{A}=21^0\times3=63^0\)

\(+)\)\(\dfrac{\widehat{C}}{2}=21^0\Rightarrow\widehat{C}=21^0\times2=42^0\)

giúp em với 

a)

Xét tam giác ABC có

\(A+B+C=180^o\\ =>90^o+B+32^o=180^o\\ =>B=58^o\)

b)

góc A: góc B: góc C tỉ lệ 2:7:1

=> \(\dfrac{A}{2}=\dfrac{B}{7}=\dfrac{C}{1}\)

tổng 3 góc tam giác bằng 180 độ

áp dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{A}{2}=\dfrac{B}{7}=\dfrac{C}{1}=\dfrac{A+B+C}{2+7+1}=\dfrac{180}{10}=18\)

=> \(A=18\cdot2=36^o,B=18\cdot7=126^o,C=18\cdot1=18^o\)

c)

có

\(A+B+C=180^o\\ =>A+75^o+C=180^o\\ =>A+C=105^o\)

góc A : góc C tỉ lệ với 3:2

=> \(\dfrac{A}{3}=\dfrac{C}{2}\)

áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{A}{3}=\dfrac{C}{2}=\dfrac{A+C}{3+2}=\dfrac{105}{5}=21\)

\(=>A=21\cdot3=63^o,C=21\cdot2=42^o\)