Bài 1: 

+) Chứng minh tứ giác BFLK nội tiếp:

Ta thấy FAH và LAH  là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AH nên AFHL là tứ giác nội tiếp. Vậy thì \(\widehat{ALF}=\widehat{AHF}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)

Lại có \(\widehat{AHF}=\widehat{FBK}\)   (Cùng phụ với góc \(\widehat{FAH}\)  )

Vậy nên   \(\widehat{ALF}=\widehat{FBK}\), suy ra tứ giác BFLK nội tiếp (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)

+) Chứng minh tứ giác CELK nội tiếp:

Hoàn toàn tương tự : Tứ giác AELH nội tiếp nên \(\widehat{ALE}=\widehat{AHE}\) , mà \(\widehat{AHE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\widehat{ALE}=\widehat{ACD}\)

Suy ra tứ giác CELK nội tiếp.

Các bài còn lại em tách ra nhé.

Hình bạn tự vẽ nhé. EF cắt AH tại L.
Xét tam giác AIM vuông tại I(MI vuông góc AB) có HF//IM ( H là trực tâm nên HF vuông góc AB, từ vuông góc đến song song >> HF//IM) >> \(\frac{AF}{AI}=\frac{AH}{AM}\left(Talet\right)\)
CMTT >> \(\frac{AE}{AK}=\frac{AH}{AM}\left(Talet\right)\)>> \(\frac{AF}{AI}=\frac{AE}{AK}\). Theo Talet đảo có EF // IK.
Xét tam giác AIK có EF // IK >> AEF đồng dạng AIK ( bạn tự cm, quá dễ) >> góc AFE = góc AIK và góc AEF = góc AKI

Xét tam giác AFL và tam giác AID : chung góc A và AFL = AID (cmt) >> AFL đồng dạng AID >> ALF = ADI đồng vị >> ID // EL

CMTT thì LE // DK. Có E,L,F thẳng hàng nên theo tiên đề Euclid suy ra I,D,K thẳng hàng.

Vì FI vuông góc với AC, BE vuông góc với AC nên FI song song với EQ

suy ra\(\frac{AI}{IE}=\frac{AF}{FB}\)(1)

Vì FJ vuông góc với AD, BC vuông góc với AD nên JI song song với BC

suy ra \(\frac{AF}{FB}=\frac{AJ}{JD}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AI}{IE}=\frac{AJ}{JD}\)suy ra IJ song song với ED  (a)

VÌ IF vuông góc với AC, FQ vuông góc với AC nên IF song song với FQ

suy ra\(\frac{IE}{EC}=\frac{FH}{HC}\) (3)

VÌ FK vuông góc với BC,AD vuông góc với BC nên FK song song với AD

suy ra \(\frac{KD}{KC}=\frac{KH}{HC}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{IE}{EC}=\frac{KD}{KC}\)suy ra IK song song với ED  (b)

Vì FK song song với AD(cmt) nên\(\frac{AF}{FB}=\frac{KD}{BK}\)(5)

Vì FQ vuông góc với EB,AC  vuông góc với EB nên FQ song song với EI

suy ra \(\frac{AF}{FB}=\frac{QE}{BQ}\)(6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{BQ}{QE}=\frac{BK}{KD}\) suy ra QK song song với ED  (c)

Từ (a), (b) và (c) suy ra I,J,Q,K thẳng hàng 

làm tắt đó nha Huyền Trang (Lì)

chờ làm cho ra thì ta cũng biết rồi

\(\dfrac{IA}{IF}=\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{KA}{KH}\Rightarrow\)IK//DF.

\(\dfrac{RC}{RD}=\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{QC}{QF}\Rightarrow\)QR//DF.

\(\dfrac{FB}{FI}=\dfrac{HB}{HE}=\dfrac{DB}{DR}\Rightarrow\)IR//DF

\(\Rightarrow\)4 điểm I,K,Q,R thẳng hàng.

1: Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC là tứ giác nội tiếp

2: ΔADB vuông tại D có DG vuông góc AB

nên AG*AB=AD^2

ΔADC vuông tại D

mà DH là đường cao

nên AH*AC=AD^2=AG*AB

=>AH/AB=AG/AC
=>ΔAHG đồng dạng với ΔABC

=>góc AGH=góc ACB=goc AFE

=>HG//FE