Ta có \(a^2+b^2\ne0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{2ab}{a^2+4b^2}+\dfrac{b^2}{3a^2+2b^2}\le\dfrac{3}{5}\)
<=> \(\dfrac{2t}{t^2+4}+\dfrac{1}{3t^2+2}\le\dfrac{3}{5}\), trong đó \(t=\dfrac{a}{b}\),
<=> 9t⁴ - 30t³ + 37t² - 20t + 4 ≥ 0
<=> (t - 1)²(3t - 2)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy \(\dfrac{2ab}{a^2+4b^2}+\dfrac{b^2}{3a^2+2b^2}\le\dfrac{3}{5}\)

1 . nhá: cách làm: phân tích đề bài ta cho làm sao xuất hiện hiện các hằng đẳg thuức" \(\left(a-b\right)^3=b\left(a-b\right)^2\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^3}{\left(a-b\right)^2}=b\Rightarrow a=2b\)

từ đó chỗ nào có "a" thay vào P thì ta sẽ đc kq là 1

Bất đẳng thức đã cho tương đương:

\(\dfrac{6a^3b+4ab^3+a^2b^2+4b^4}{3a^4+14a^2b^2+8b^4}\le\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(3a-2b\right)^2\ge0\) (luôn đúng).

\(A=\dfrac{2}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{4b}{a}}+\dfrac{1}{3\left(\dfrac{a}{b}\right)^2+2}\le\dfrac{3}{5}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b}=y\)

\(A=\dfrac{2}{y+\dfrac{4}{y}}+\dfrac{1}{3y^2+2}\le\dfrac{3}{5}\)

\(A\Leftrightarrow\left(3y^2-5y+2\right)^2\ge0\)

Mashiro Shiina

Ta có: \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}\left(a+b\right)=1+ab\frac{2a+3b}{2a^3+3b^3}\)

Áp dụng BĐT Holder ta có: 

\(\left(2a^3+3b^3\right)\left(2+3\right)^2\ge\left(2a+3b\right)^3\)

Vậy ta có thể viết lại BĐT cần chứng minh như sau;

\(VT\left(a+b\right)\le2+25ab\left(\frac{1}{\left(2a+3b\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+3a\right)^2}\right)\)

Nó đủ để ta có thể thấy rằng 

\(25ab\left[\left(2b+3a\right)^2+\left(2a+3b\right)^2\right]\le2\left(2a+3b\right)^2\left(2b+3a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow59\left(a^2-b^2\right)^2+13\left(a^4+b^4-a^3b-ab^3\right)\ge0\)

BĐT cuối cùng đúng nên ta có ĐPCM

ok jjj

Đặt \(\frac{a}{b}=t\)do a>0, b>0 nên t>0

Khi đó BĐT \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2}{3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^2}\le\frac{4}{a+b}\left(1\right)\)trở thành

\(\frac{2t^2+3}{2t^3+3}+\frac{2+3t^2}{3+3t^3}\le\frac{4}{t+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(2t^2+3\right)\left(2+3t^2\right)\left(t+1\right)+\left(2+3t^2\right)\left(2t^2+1\right)\left(t+1\right)\le4\left(2t^3+3\right)\left(2+3t^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(12t^5+13t^3+13t^2+12\right)\le4\left(6t^6+13t^3+6\right)\)

\(\Leftrightarrow12\left(t^6-t^5-t+1\right)-13t^2\left(t^2-12t+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow12\left(t-1\right)^2\left[12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left[12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2\right]\ge0\left(2\right)\)

Ta có \(12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2=12t^4+12t\left(t-1\right)^2+23t^2+12>0\forall t>0\)

BĐT (2) đúng với mọi t>0

=> BĐT (1) đúng với mọi a,b>0

Dấu "=" xảy ra <=> t=1 <=> a=b