câu b là n^2 + n + 6 không chia hết cho 4

Chắc vậy

​

Vì đây là 7 số nguyên liên tiếp

nên A chia hết cho 7!

=>A chia hết cho 5040

=>A chia hết cho 210

Ta có:

\(A=n^3\left(n^2-7\right)^2-36n\)

\(A=n^3\left(n^4-14n^2+49\right)-36n\)

\(A=n^7-14n^5+49n^3-36n\)

\(A=n^7+12n^5+36n^3-25n^5-n^5-12n^3-36n+25n^3\)

\(A=n^3\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)-n\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)

\(A=\left(n^3-n\right)\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)

\(A=n\left(n^2-1\right)\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)

\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2+6\right)^2-\left(5n\right)^2\right]\)

\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-5n+6\right)\left(n^2+5n+6\right)\)

\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

\(A=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮7\)

*Tích 7 số nguyên liên tiếp chia hết cho 7.

Xét \(5040=2^4.3^2.5.7\)

Phân tích:

\(A=n\left[n^2\left(n^2-7\right)^2-36\right]=n\left[\left(n^2-7n\right)^2-6^2\right]\)

\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)

Ta có:

\(n^3-7n-6=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-3\right)\)

\(n^3-7n+6=\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+3\right)\)

Do đó \(A=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Đây là tích 7 số nguyên liên tiếp. Trong 7 số nguyên liên tiếp:

- Tồn tại 1 bội số của 5 (nên A chia hết cho 5)

- Tồn tại 1 bội số của 7 (nên A chia hết cho 7)

- Tồn tại 2 bội số của 3 (nên A chia hết cho 9)

- Tồn tại 3 bội số của 2, trong đó có 1 bội số của 4 (nên A chia hết cho 16)

A chia hết cho các số 5, 7, 9, 16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040

Vì đây là 7 số liên tiếp

nên A chia hết cho 7!

=>A chia hết cho 210

b) Phân tích ra thừa số : 5040 = 2⁴ . 3² . 5 . 7

Phân tích : A = n . [ n² . ( n² - 7 )² - 36 ] = n . [ ( n³ - 7n )² - 6² ]

= n . ( n³ - 7n - 6 ) . ( n³ - 7n + 6 )

Ta lại có : n³ - 7n - 6 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n - 3 )

 n³ - 7n + 6 = ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n + 3 )

Do đó : A = ( n - 3 ) ( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )

Ta thấy A là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên :

- tồn tại 1 bội số của 5 ( nên A chia hết cho 5 )

- tồn tại 1 bội số của 7 ( nên A chia hết cho 7 )

- tồn tại 2 bội số của 3 ( nên A chia hết cho 9 )

- tồn tại 3 bội số của 2, trong đó có 1 bội số của 4 ( nên A chia hết cho 16 )

A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040

a) \(25^{n+1}-25^n=25^n\left(25-1\right)=25^n.4⋮25.4=100\)

b) \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)=\left(n^2-2n\right)\left(n-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)

Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮6\)

c) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^3-n⋮6\)

a,25^n.24

mà 25^n :5

a) \(25^{n+1}-25^n=25^n.\left(25-1\right)\)

\(=25^n.24=25^n.4.6\)

\(=\left(25^n.4\right).6⋮100\) ( do \(25^n.4⋮100\forall n\inℕ^∗\) )

b) \(n^2.\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)\)

\(=\left(n-1\right).\left(n^2-2n\right)\)

\(=\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)\)

Ba số trên là ba số liên tiếp

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮2\\\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮6\)

hay : \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮6\)

c) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)\)

Đến đây tương tự câu b) thì ta có đpcm.

\(\Rightarrow A=2^{2n}-1=4^n-1=\left(4-1\right)\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)=3\cdot\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)⋮3\forall n\in N\)